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Si$f : \mathbb{R}^n \to \Bbb R$ es monótono en todas las líneas, ¿se puede escribir como$h \circ l$ donde$h$ es monótono y$l$ es una forma lineal?

Vamos a ser $f : \Bbb R^n \to \Bbb R$ monotono largo de todas las líneas (no afín, pero si hay una respuesta más afín a las líneas, estoy interesado.)

Es posible encontrar la $h : \mathbb{R} \to \Bbb R$ monotono y $l : \Bbb R^n \to \Bbb R$ lineal, de modo que $f = h \circ l$ ?

Traté de mirar por suponiendo que tengo una factorización, y como $\ker l$ es un hyperplane, he $n - 1$ líneas $f$ es constante. Traté de usar la monotonía condición tratando de comparar el $f(0)$ y a través de líneas, pero no funcionó.

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Steven Lu Puntos 866

Su factorización implica que $f$ es medible (ver $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ monótona creciente $\Rightarrow$ $f$ es medible). Pero usted puede construir una no medibles $f$ monótona sobre todas las líneas.

EDIT 1: Construcción de la $f$.

Tomar $$\varphi:{\Bbb R}^{n - 1}\longrightarrow{\Bbb R}$$ non measurable, and positive, $\eta$ monotono y positivo. La función $$g(x) = \varphi(x_1,\dots,x_{n-1}) + \eta(x_n)$$ will be non measurable. Define $f$ in the upper half-space via a stereographic-projection-like bijection transforming the half-lines with constant $(x_1,\dots,x_{n-1})$ (domain of $g$) in rays (domain of $f$). Define $f(0) = 0$. Define $f$ using symmetry in the open lower half-space. Complete $f$ en el resto del espacio respetar su condición. Hecho.

EDIT 2: El bijection.

$$\sigma:(x_1,\dots.x_n)\longmapsto\frac{(x_1,\dots,x_{n-1},1)}{\|(x_1,\dots,x_{n-1},1)\|}\,x_n,$$ $f$ en el superior abierto la mitad de espacio: $$f = g\circ\sigma^{-1}.$$

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