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¿Cuál es la suma de la suma de los dígitos de $4444^{4444^{4444}}$ ?

A pregunta reciente preguntó por la suma de la suma de la suma de los dígitos de $4444^{4444}$ . La solución allí funciona principalmente porque el número elegido es lo suficientemente pequeño para que la suma de la suma de la suma sea igual a la suma repetida: es decir, si sumamos más dígitos, el resultado no cambia. Dado que encontrar sumas repetidas de dígitos es sólo una cuestión de teoría de números elemental, esto resuelve el problema.

Parece que la siguiente pregunta podría ser mucho más difícil: ¿cuál es la suma de la suma de los dígitos de $$4444^{4444^{4444}}?$$ En otras palabras, que $f: \Bbb N_0 \to\Bbb N_0$ ser la función definida por $f(n)= \textrm {sum of decimal digits of }n$ .

¿Cuál es el valor de $f \left (f \left (4444^{4444^{4444}} \right ) \right )$ ?

En esta cuestión, aún no hemos llegado a un número de un solo dígito, lo que al menos parece hacerlo mucho más difícil.

Algunas estimaciones: el número de dígitos decimales de $4444^{4444^{4444}}$ es igual a $$ \left\lfloor\log_ {10}4444^{4444^{4444}} \right\rfloor +1,$$ lo que implica $$f \left (4444^{4444^{4444}} \right ) \le9\left ( \log_ {10}4444^{4444^{4444}}+1 \right ).$$

A continuación, el número de dígitos de este último número es como mucho $$ \left\lfloor\log_ {10} \left (9 \left ( \log_ {10}4444^{4444^{4444}}+1 \right ) \right ) \right\rfloor +1,$$ que es $16213$ según Wolfram|Alfa . Por lo tanto, $$f \left (f \left (4444^{4444^{4444}} \right ) \right ) \leq9\cdot16213 =145917.$$

Así que el número que estamos buscando tiene como máximo $6$ dígitos. Esto hace que sea muy factible de expresar en notación decimal, pero posiblemente difícil de encontrar.

Podríamos estar más interesados en números como $$f \left (f \left (f \left (4444^{4444^{4444^{4444}}} \right ) \right ) \right ),$$ así que una pregunta relacionada sería:

¿Existe alguna esperanza de contar con un método general de evaluación de esas funciones o es el comportamiento de la $k$ -composición de pliegues $f^k$ completamente caótico?

5voto

Hani Sallaam Puntos 11

Puedes encontrar un límite superior para ello incluso sin usar la computadora o cualquier calculadora: $$ f(N) < 9 (4444^{4444} \times log_{10} 4444 + 1) < 9 \times 4 \times 4444^{4444} + 9 $$ $$ f(f(N)) < 9 ( log_{10}9 + log_{10}4 + 4444 log_{10}4444 + 1) < 9 (3 + 4444 \times 4) = 9 \times 17779 = 160011 $$

así que $$ f(f(N))<160011 $$ este es un rango grande pero puede ser más pequeño con la calculadora (Note que debería haber computado el logaritmo de base10 en lugar del logaritmo natural)

el rango consiste en 160011 números, y conociendo el recordatorio del 9, sólo quedan 17.779 números, y la respuesta es uno de ellos.

Por supuesto que esta no es una respuesta exacta, pero es directa.

Editar: Acabo de usar mal una fórmula que se trata de algo diferente, ¡lo siento!

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