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¿Cuál es la suma de suma de dígitos de $4444 ^ {4444 ^ {4444}} $?

Una reciente pregunta le preguntó acerca de la suma de suma de suma de los dígitos de $4444^{4444}$. La solución no funciona, principalmente, debido a que el número elegido es lo suficientemente pequeño como para que la suma de suma de suma será igual a la suma repetida: es decir, si se suma los dígitos más, el resultado no cambia. Desde encontrar repetidas sumas de dígitos es sólo una cuestión de elemental a la teoría de números, esto resuelve el problema.

Parece que la siguiente pregunta podría ser mucho más difícil: ¿cuál es la suma de la suma de los dígitos de $$4444^{4444^{4444}}?$$ En otras palabras, vamos $f:\Bbb N_0\a\Bbb N_0$ ser la función definida por $f(n)=\textrm{suma de los dígitos decimales de }$n.

¿Cuál es el valor de $f\left(f\left(4444^{4444^{4444}}\right)\right)$?

En esta pregunta, todavía no hemos llegado a un único número de un dígito, que al menos parece ser mucho más difícil.

Algunas estimaciones: el número de dígitos decimales de $4444^{4444^{4444}}$ es igual a $$\left\lfloor\log_{10}4444^{4444^{4444}}\a la derecha\rfloor+1,$$ lo cual implica que $$f\left(4444^{4444^{4444}}\right)\le9\left(\log_{10}4444^{4444^{4444}}+1\a la derecha).$$

A continuación, el número de dígitos de este último número es en la mayoría de los $$\left\lfloor\log_{10}\left(9\left(\log_{10}4444^{4444^{4444}}+1\right)\right)\right\rfloor+1,$$, que es de $16213 de dólares, según Wolfram|Alpha. Por lo tanto, $$f\left(f\left(4444^{4444^{4444}}\right)\right)\leq9\cdot16213=145917.$$

Por lo que el número que estamos buscando tiene en la mayoría de los $6$ dígitos. Esto hace que sea muy factible expresar en notación decimal, pero posiblemente difícil de encontrar.

Nos podría estar más interesado en números como $$f\left(f\left(f\left(4444^{4444^{4444^{4444}}}\right)\right)\right),$$ para una relacionada con la pregunta sería:

Hay alguna esperanza para un método general de evaluación de tales funciones o es el comportamiento de la $k$-composición del pliegue de $f^k$ completamente caótico?

5voto

Hani Sallaam Puntos 11

Usted puede encontrar una cota superior para que, incluso sin el uso de equipo o de cualquier calculadora: $$ f(N) < 9 (4444^{4444} \veces log_{10} 4444 + 1) < 9 \veces 4 \times 4444^{4444} + 9 $$ $$ f(f(N)) < 9 ( log_{10}9 + log_{10}4 + 4444 log_{10}4444 + 1) < 9 (3 + 4444 \veces 4) = 9 \times 17779 = 160011 $$

así $$ f(f(N))<160011 $$ esta es una gran serie, pero puede ser menor con la calculadora (tenga en cuenta que usted debe tener calculada base10 logaritmo en lugar de logaritmo natural)

la gama se compone de 160011 números, y conociendo el recordatorio de 9, sólo 17,779 números de la izquierda, y la respuesta es uno de ellos.

Por supuesto, esto no es una respuesta exacta, pero es muy sencillo!

Edit: acabo de abuse de una fórmula, que es algo diferente, lo siento por eso!

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