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sangaku - un rompecabezas geométricos

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Encontrar el radio de los círculos si el tamaño de la plaza mayor es de 1x1.
¡A disfrutar!

(leer sobre el origen de sangaku)

16voto

Brian Deacon Puntos 4185

He aquí un mejor enfoque ...

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Dados dos segmentos que emanan de un punto y termina en los puntos de tangencia con un círculo, sabemos que los segmentos son congruentes. En la figura, los tres vértices del triángulo rectángulo dar lugar a tres fundamentales longitudes; tenga en cuenta que, dado que el "verde" ángulo es un ángulo recto, las longitudes de la tangente segmentos son iguales al radio del círculo.

Pitágoras nos dice que

$$(b+r)^2 + ( r + a )^2 = ( a + b )^2 $$

Pero también tenemos que $a+b=1$ (al lado de la plaza), y que $b=a+2r$ (a través de círculos tangentes en el "exterior" de la derecha, triángulo). A partir de estas relaciones, nos encontramos con que $a=1/2-r$$b=1/2+r$.

Por lo tanto,

$$(1/2+2r)^2 + ( 1/2 )^2 = ( 1 )^2$$ $$1/4+2r+4r^2+1/4=1$$ $$8r^2+4r-1=0$$

Las raíces se $(-1\pm\sqrt{3})/4$, y se selecciona el valor positivo: $r = (-1+\sqrt{3})/4$.

Como Américo señaló: Los lados de un triángulo tienen longitudes $r+a=1/2$, $3r+a=\sqrt{3}/2$, y $1$, por lo que tenemos un triángulo 30-60-90.

(Me gusta que hay, pero la extraña valor de este tiempo, en lugar de los tres en mi primer intento. Hay sin embargo, un mejor enfoque del que se obtiene la respuesta directamente, con ningún extraño valores?

Edit. Hay. Inmediatamente después de que hemos deducido que $a=1/2-r$, sabemos que la pata corta del triángulo tiene una longitud de $1/2$, por lo que su pierna más larga es $\sqrt{3}/2$. Ya que más de la pierna también es $a+3r=1/2+2r$,$r=(-1+\sqrt{3})/4$.)

4voto

casperOne Puntos 49736

Aquí está mi intento puramente enfoque geométrico:

                    sangaku

Organizar un conjunto de igual tamaño de los círculos como en la imagen 2, y la posición de la parte superior e inferior de los círculos de modo que sus centros de forma uno de los lados de un cuadrado. A partir de los cuatro ejes de simetría, se ha visto que el más a la izquierda del círculo está en el centro de la plaza, y desde la altura de un triángulo equilátero es tangente a cada uno de los dos círculos y es perpendicular al lado del triángulo en la imagen 3, se deduce que la izquierda y la derecha círculos, y las dos círculos justo por encima de estos, son coincidentes con las del diagrama original en la imagen 1 (y, por supuesto, las imágenes se han alineado para convencer a usted de esto también). Por lo tanto todo lo que queda es para medir el $r$; en la imagen 4 se nota que el lado del triángulo, que tiene una longitud de $1$, es también la longitud de la $(2+2\sqrt3)r$ ($\sqrt3$ medidas vienen siendo este un triángulo equilátero); de esto podemos obtener

$$r=\frac1{2(1+\sqrt3)}=\frac{\sqrt3-1}4.$$

4voto

Brian Deacon Puntos 4185

Deje $r$ ser la longitud del radio de los círculos, y deje $\theta$ ser la medida de la (menor) ángulo en la esquina de la gran plaza.

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El ancho de la plaza es igual a dos radios y la proyección de un doble de diámetro (un cuádruple-radio), por lo que

$(1)\hspace{1.0in}4r\cos\theta=1-2r$

Mirando a los cuatro triángulos rectángulos, podemos ver que el centro del círculo de diámetro es igual a la diferencia en las longitudes de las piernas; ya que la hipotenusa tiene una longitud de $1$, tenemos

$(2)\hspace{1.0in}2r = \cos\theta - \sin\theta$

A partir de aquí, simplemente tenemos que eliminar a $\theta$.

Multiplicando (2) por $4r$ y sustituyendo en (1) ...

$$8 r^2 = 4r\cos\theta - 4r \sin\theta = 1 - 2r - 4r \sin\theta$$ $$4r \sin\theta = 1 - 2r - 8 r^2$$

Por lo tanto,

$$\begin{eqnarray}16r^2 &=& (4r \cos\theta)^2 + (4 r \sin\theta)^2 \\ &=& ( 1 - 2r )^2 + ( 1 - 2r - 8 r^2 )^2 \\ &=& 2 - 8 r - 8 r^2 + 32r^3 + 64 r^4 \end{eqnarray}$$

así que

$$0 = 32 r^4 + 16 r^3 - 12 r^2 - 4 r + 1 = (2r+1)(2r-1)(8 r^2 + 4 r - 1)$$

Las raíces del polinomio son $\pm1/2$$(-1\pm\sqrt{3})/4$. Podemos eliminar tres de ellos de consideración a la conclusión de que la $r = (-1+\sqrt{3})/4$.

3voto

Andrew Puntos 140

Algo relacionado a lo que Don solución: De la figura, vemos que los cuatro triángulos son 1: congruente, y 2: los triángulos rectángulos. La hipotenusa de un triángulo tiene longitud 1, y si dejamos $\theta$ ser el menor de los dos ángulos del triángulo rectángulo, y el uso de $r$ para denotar el radio de un círculo, a continuación, la relación de Pitágoras es

$$\cos^2\;\theta+(\cos\;\theta-2r)^2=1$$

Esto ahora puede ser resuelto como una de ecuaciones simultáneas con cualquiera de las otras dos ecuaciones No obtenido, o podemos utilizar la otra ecuación, la expresión para la inradius $r$:

$$r^2=\frac{(s-1)(s-\cos\;\theta)(s+2r-\cos\;\theta)}{s}$$

donde $s=\frac{1+\cos\;\theta+(\cos\;\theta-2r)}{2}$ es el semiperimeter.

Si eliminamos $\cos\;\theta$ y resolver las dos ecuaciones aquí para $r$, nos encontramos con que las raíces resultante de la ecuación de cuarto grado son

$$r=\frac{\pm 1\pm\sqrt{3}}{4}$$

Si llevamos a cabo No como bien, nos encontramos con que sólo uno positivo valor de $r$ es consistente con ambos sistemas, y por lo tanto tiene que ser la respuesta correcta:

$$r=\frac{-1+\sqrt{3}}{4}$$

0voto

Sameer Puntos 359

Gran Sangaku! He aquí una rápida y fácil solución:

Deje $r$ ser el radio de los círculos, vamos a $L$ ser la longitud lateral de la plaza, y deje $a$ $b$ ser el resto de longitudes de los lados de los triángulos donde $a > b$.

Entonces podemos ver que $$ a = b + 2r $$ El radio de la circunferencia inscrita de un triángulo rectángulo es $$ \frac{a + b - L}{2} = r $$

A partir de estas dos ecuaciones, podemos obtener fácilmente por $b = \frac{L}{2}$.

El Teorema de Pitágoras en $a, b = \frac{L}{2},$ $L$ da

$$ a^{2} + (\frac{L}{2})^{2} = L^{2} $$

significado $a = \frac{\sqrt{3}}{2}L$. Conectar nuestros valores para a y b en la parte superior de la ecuación da

$$ r = \frac{\sqrt{3} - 1}{4}L $$

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