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¿Son imposibles de calcular algunas integrales indefinidas o simplemente no existen?

Hace poco comencé a trabajar con integrales y estoy muy sorprendido de lo mucho más difíciles de calcular que los derivados. Por ejemplo, para algo tan aparentemente simple como $\int e^{ \cos x} dx $ es imposible ¿verdad? No puedo usar u-sub ya que no hay $-\sin(x)$ multiplicando la función, también la integración por partes parece que no funcionaría, ¿correcto? Entonces, ¿esto significa que esta integral es imposible de calcular?

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Matthew Scouten Puntos 2518

La integral indefinida de una función continua siempre existe. Es posible que no exista en la "forma cerrada", es decir, es posible que no se pueda escribir como una expresión finita utilizando "conocido" de las funciones. El concepto de "forma cerrada" es algo vaga, ya que no hay lista definitiva de que las funciones son "bien conocidos". Una más precisa declaración es que hay funciones elementales cuya indefinido integrales no elementales. Por ejemplo, la integral indefinida $\int e^{x^2}\; dx$ no es una función primaria, aunque puede ser expresado en términos de un no-elemental función especial de $\frac{\sqrt{\pi}}{2} \text{erfi}(x)$.

Su ejemplo $\int e^{\cos(x)}\; dx$ es también no-elemental. Esto puede ser demostrado mediante el algoritmo de Risch. Este no parece tener ningún no-elemental cerrado formulario.

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alephzero Puntos 221

Particular que la integral es bastante fácil de calcular numéricamente para cualquier precisión que desee.

También se podría encontrar una solución de la serie. $e^{\cos x}$ es una potencia de la serie en $\cos x$, y el de las integrales de potencias de $\cos x$ son bien conocidos. Demostrar la convergencia es simple - desde $\cos x$ es periódica, sólo se necesita considerar el intervalo de $[0, 2\pi]$.

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Eul Can Puntos 1353

Estás haciendo diferentes preguntas aquí, ya que la existencia, la computabilidad y tener una forma cerrada, son todos aspectos de las funciones e integrales. Para mostrar cómo, vamos a embarcarse en un viaje para hacer el guarro función de podemos. Es interesante e importante para reconocer la distinción entre los diferentes términos y patológicas de los casos son una buena manera de diferenciar entre ellos.

Todas las funciones que se han encontrado hasta la secundaria tienen la forma cerrada de las integrales. Esto significa que puede perfectamente escribir integral el uso de otros "simple" de las funciones. Esto incluye funciones trigonométricas, exponenciales y polinomios; por ejemplo, $\int \frac12x^2+2\ \mathrm{d}x=\frac{1}{6}x^3+2x+C$.

Sin embargo, se puede demostrar que algunos simple-en busca de las funciones no tienen forma integral. Como las otras respuestas señalar, es imposible escribir $\int e^{-x^2}\ \mathrm{d}x$ el uso de funciones simples, pero todavía podemos calcular el valor numérico de la integral: $\int_0^1e^{-x^2}\ \mathrm{d}x\approx0.747$. Es evidente que nuestra función no es desagradable aún lo suficiente.

No siempre podemos calcular el valor de algunas de las funciones, o incluso algunos números. Hay algunos uncomputable números que, a pesar de que existen, no puede ser encontrado de forma numérica; es imposible saber cuál es su valor. El más famoso de estos es Chaitin constantes, Ω. Así que, vamos a lanzar uno en la mezcla. Con $\int_0^1e^{-x^2}+\Omega\ \mathrm{d}x$ es no sólo imposible escribir la función en una forma cerrada, pero ahora ni siquiera podemos calcular su valor! Bastante desagradable, pero podemos empeorar?

Con la última integral, no hemos podido encontrar su valor, sino que lo hizo tiene un valor. Podemos hacer una función que le es imposible incluso se puede integrar? La función de Dirichlet, $I_\mathbb{Q}(x)$, se encarga de ello. Es igual a $1$ a los números racionales, sino $0$ en todas las demás. Esencialmente, el $0$'s y $1$'s están demasiado cerca el uno del otro, para nosotros, ser capaz de distinguirlos por lo que no puede ser integrado.

Hay muchas otras maneras en que podemos describir las funciones y restringir aún más las cualidades que hemos hecho una lista con los diferentes tipos de integración, computabilidad y cerrado de formas.

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