No puedo entender un problema de práctica del ACT: El triángulo parece ser isósceles, ¿por qué no es la respuesta? $7.3\sim $ ¿Aquí?

Question

En la siguiente imagen, $XY = YZ$ , $\angle a = 40^\circ$ y la longitud opuesta es $5$ .

El problema consiste en calcular $XY$

Inmediatamente dejamos caer la perpendicular punteada y obtenemos dos triángulos rectángulos. La longitud del fondo es de 2,5 en cada triángulo rectángulo, y por tanto $a/2 = 20^\circ$

$\sin 20 = 2.5 / XY$ o, $XY = 2.5 / \sin 20 \approx 7.3$

Su respuesta utiliza $5 / a = XY / 70$

$5 / 40 = XY / 70$ $XY = 350/40 = 8.75$

Habría pensado que ambas respuestas deberían ser las mismas, ¿dónde nos hemos equivocado?

Answer 1

Consigue otro libro.

¡AHORA!

Los libros responden que $\frac 5{\angle a} = \frac {XY}{\angle 70}$ es... sin fundamento.

No hay tal similitud entre los lados del triángulo y la medida directa de los ángulos. Es .... estúpido... pensar que la habría.

Pero hay una similitud entre los bandos y el SINES de los ángulos.

Es decir, la ley de los senos que nos permitiría anotar:

que $\frac 5{\sin a} = \frac {XY}{\sin 70}$ o $\frac 5{\sin 40}=\frac {XY}{\sin 70}$ así que $XY =5*\frac{\sin 70}{\sin 40} \approx 7.3$ . Que ... es lo mismo que tu respuesta.

Answer 2

$$XY=\frac{2.5}{\sin20^{\circ}}=7.3095...$$ De otra manera:

$$\frac{XY}{\sin70^{\circ}}=\frac{5}{\sin40^{\circ}},$$ que da el mismo resultado: $$XY=\frac{5\sin70^{\circ}}{\sin40^{\circ}}=7.3095...$$

Answer 3

Su respuesta utiliza 5/a=XY/70

Esto está mal. No existe tal regla. Hay una regla de los senos. En lugar de 5/a=XY/70 debería ser 5/sin(a)=XY/sin(70). Entonces obtendrás el mismo resultado, ~7,3.

Answer 4

Como han señalado otros, la norma sería $\frac{5}{\sin a} = \frac{XY}{\sin 70°}$ y a partir de ahí algún editor multiplicó ambos lados por $\sin$ y omitió el $°$ desde el ángulo. Lo cual es una matemática de nivel de broma práctica como $\frac{16}{64}=\frac{1\not 6}{\not 64}=\frac14$ . Excepto que en este caso el resultado es erróneo. Lo que significa que la persona encargada de hacer las últimas correcciones sustanciales del texto (sea su autor o no) no estaba cualificada para hacerlo. Eso no augura nada bueno para el resto del libro.