Demuestre que el valor general de $\theta$ satisfaciendo $\sin\theta=\sin\alpha$ y $\cos\theta = \cos\alpha$ viene dada por $\theta = 2n\pi + \alpha$

Question

El valor general de $\theta$ ecuaciones que satisfacen simultáneamente, $$\sin\theta = \sin\alpha \quad\text{and}\quad \cos\theta = \cos\alpha$$ viene dada por $$\theta = 2n\pi + \alpha \ \forall \ n \in \mathbb{Z} \\$$

Mi intento:

Sumando las dos ecuaciones,

$$\sin\theta + \cos\theta = \sin\alpha + \cos\alpha$$ $$\sin\theta - \sin\alpha = \cos\alpha - \cos\theta$$ $$2\cos\left( \frac{\theta + \alpha}{2} \right)\sin\left( \frac{\theta - \alpha}{2} \right)= 2\sin\left( \frac{\theta + \alpha}{2} \right)\sin\left( \frac{\theta - \alpha}{2} \right)$$ $$\cos^2\left( \frac{\theta + \alpha}{2} \right) = \sin^2\left( \frac{\theta + \alpha}{2} \right)$$ $$\cos(\theta + \alpha) = 0$$ $$\therefore \theta + \alpha = (2n+1)\frac{\pi}{2},\ n \in \mathbb{Z}$$ $$\theta = (2n+1)\frac{\pi}{2} - \alpha, \ n \in \mathbb{Z} $$

¿Por qué mi solución no coincide con la solución correcta?

¡Por favor, ayuda!

Answer 1

Por muy complicadas que se vuelvan las expresiones, no se puede dividir por cero, cosa que ya has hecho implícitamente desde la tercera línea.

En este caso podríamos tener que $\sin\frac{\theta-\alpha}2=0$ que se reduce a $\theta=2n\pi+\alpha$ para algunos $n\in\mathbb Z$ como se desea. Si no es cero, se puede dividir por él y obtener $$\cos\frac{\theta+\alpha}2=\sin\frac{\theta+\alpha}2$$ que se reduce a $\theta=\frac\pi2+2n\pi-\alpha$ pero esto no satisface el sistema original.

Answer 2

Un problema es que has dividido por $\sin\left(\frac{\theta - \alpha}{2}\right)$ al pasar de la tercera a la cuarta línea. Sin embargo, con $\theta = 2n\pi + \alpha$ entonces $\frac{\theta - \alpha}{2} = n\pi$ pero $\sin(n\pi) = 0$ . Cuando se divide por $0$ básicamente puede ocurrir cualquier cosa, incluyendo resultados incorrectos como el que obtuviste.