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Cuando Deje de Usar la Regla de L'Hôpital

No entiendo algo acerca de la regla de L'Hôpital. En este caso:

$$ \begin{align} & {{}\phantom{=}}\lim_{x\to0}\frac{e^x-1-x^2}{x^4+x^3+x^2} \\[8pt] & =\lim_{x\to0}\frac {e^x-1-x^2)'}{(x^4+x^3+x^2)'} \\[8pt] & =\lim_{x\to0}\frac {e^x-2x)'}{(4x^3+3x^2+2x)'} \\[8pt] & =\lim_{x\to0}\frac {e^x-2)'}{(12x^2+6x+2)'} \\[8pt] & = \lim_{x\to0}\frac {e^x)'}{(24x+6)'} \\[8pt] & = \lim_{x\to0}\frac{e^x}{24} \\[8pt] & = \frac{e^0}{24} \\[8pt] & = \frac{1}{24} \end{align} $$

¿Por qué tenemos que seguir en la solución después de este paso:

$$\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{(e^x-2)'}{(12x^2+6x+2)'}$$

No puedo simplemente enchufe en $x=0$ y calcular el límite a este paso me da:

$$\dfrac{1-2}{0+0+2}=-\dfrac{1}{2}$$

Estoy muy confundido, porque me pongo diferentes probables respuestas para el límite, dependiendo de cuándo hago para dejar de diferenciar, como claramente $-\frac1{2}\neq \frac 1{24}$.

59voto

ra1nmaster Puntos 866

Una vez que su respuesta es no en la forma 0/0 o $\frac{\infty}{\infty}$ que usted debe dejar de aplicar la regla. Sólo se aplica la regla de intento de deshacerse de las formas indeterminadas. Si se aplica la regla de L'Hospital cuando no es aplicable (es decir, cuando su función ya no produce un valor indeterminado de 0/0 o $\frac{\infty}{\infty}$) lo más probable es que la respuesta equivocada.

Debería haber dejado de diferenciar la parte superior y la parte inferior una vez que llegamos a este:

$\frac{e^x-2x}{4x^2+3x^2+2x}$. Tomando el límite en el que le da $1/0$. El límite es inexistente.

Además, no estar tentado a decir "infinito" cuando ves a un 0 en el denominador y un número distinto de cero en la parte superior. Puede que no sea el caso. Por ejemplo, la función $\frac{1}{x}$ enfoques infinito y el infinito negativo de ambos lados del límite cuando x se aproxima a 0. No es necesariamente infinita; su mejor dejarlo como "inexistente".

29voto

Drew Jolesch Puntos 11

Después de la diferenciación sólo una vez, que $$\lim_{x \to 0} \dfrac{e^x-2x}{4x^3+3x^2+2x}$$ que "evalúa" a $\dfrac 10$, es decir, el numerador enfoques $1$, y el denominador enfoques $0$. Por lo tanto, de L'Hospital ya no se aplica y tenemos $$\lim_{x \to 0} \dfrac{e^x-2x}{4x^3+3x^2+2x}\quad\text{no existe}.$$

De l'Hospital de la regla se aplica siempre y sólo mientras un límite evalúa a un "indeterminado" de la forma: por ejemplo, $\dfrac 00, \;\text{o}\;\dfrac {\pm\infty}{\pm\infty}$.

13voto

Rob Dickerson Puntos 758

Una rápida adición a Ra1nMaster la excelente respuesta: sólo se puede aplicar la regla de L'Hospital si usted tiene una forma indeterminada, y si el límite, después de aplicar la regla de L'Hospital, existe.

Esta segunda condición es igualmente importante; por ejemplo, un clásico stumper es $$\lim_{x\to\infty} \frac{x}{x+\sin x}.$$ Desde este límite tiene la forma $\frac{\infty}{\infty}$, uno podría ingenuamente aplicar la regla de L'hospital, recibiendo $$\lim_{x\to\infty} \frac{1}{1+\cos x}$$ y concluyendo el límite original no existe. Esto es incorrecto; $$\lim_{x\to\infty} \frac{x}{x+\sin x} = \lim_{x\to\infty} \frac{1}{1+\frac{\sin x}{x}}=1.$$

9voto

Eric Jablow Puntos 1547

Uno debe ser muy cuidadoso acerca del uso de l'Hospital de la regla. Se aplica sólo cuando el numerador y el denominador tienden ambos a $0$ o $\infty$ y el denominador nunca es $0$ en un pinchazo en un barrio de la punta. El denominador es de la forma $x\sin \frac1x$ es ineligable para la regla.

Pero, los estudiantes deben tratar de evitar la regla de todos modos. Aquí es una parábola. Un estudiante se le asigna la tarea de encontrar

$$ \lim_{x\to 0} \frac{\sin^6 x}{x^6}. $$

Un mal estudiante cancela el $6$ y $x$ dar $\sin$.

Un ingenuo estudiante aplica la regla de l'Hospital de 6 veces y, finalmente, recibe $\frac{720}{720} = 1$.

Un estudiante mediocre se aplica la regla de una vez, y se pone

$$ \lim_{x\to 0} \frac{6\sin^5 x \cos x}{6x^5}. $$

Se cancela $6$, y elimina el $\cos x$ plazo, puesto que tiende a $1$. Repite el proceso 5 veces más.

Un buen estudiante escribe la expresión como:

$$ \lim_{x\to 0} \left[\frac{\sin x}{x}\right)^6. $$

Él usa la continuidad de $t^6$ para mover el límite dentro de los corchetes y recibe $1^6 = 1$.

Un ingeniero dice "$\sin x = x$, por lo que la expresión es de $1$." Y, él estaría en lo cierto!


El uso de l'Hospital de la regla también puede hacerle daño a los estudiantes la comprensión de un problema. He aquí un ejemplo clásico.

El $p$-potencia media de dos números positivos, $x$ y $y$ se define como:

$$ M_p(x,y) = \left[\frac{x^p + y^p}{p}\right)^{\frac1p}. $$

Se puede proporcionar evidencia sugestiva sin el uso de l'Hospital de la regla de que

$$ \lim_{p\to0^{+}} M_p(x,y) = \sqrt{xy}? $$

Una manera de hacer esto es utilizar la aproximación $x^p \aprox 1 + p \log x$ para $p$ pequeño, tomado de la expansión de Taylor de $x^p$ $p=0$. Sustituir en la fórmula de la media, y se obtiene:

$$ \left[1 + \frac p2 (\log x + \log y)\right)^{\frac1p} = \left[1 + p \log \sqrt{xy}\right)^{\frac1p}. $$

Vamos $s = \frac1p$, y este es

$$ \left[1 + \frac{\log \sqrt{xy}}{s}\right]^s $$

El límite de que, como $s\{+\infty}$ es

$$ e^{\log\sqrt{xy}} = \sqrt{xy}. $$

Haciendo de este riguroso no es trivial.

7voto

mkoryak Puntos 18135

Usted no puede utilizar L hôpital en la tercera igualdad de signo, porque usted no tiene un $"0/0"$ de expresión.

Usted obtener $$ \lim_{x\to 0}\frac{e^x - 2x}{4x^3 + 3x^2 + 2x}. $$ Aquí el numerador enfoques $1$ y el denominador enfoques $0$, así que en el límite no existe.

También tenga en cuenta que $$ 4x^3 + 3x^2 + 2x $$ es negativo cuando $x <0$ y es positivo cuando $x>0$. Por lo tanto, no se puede decir que el límite es $\infty$ o $-\infty$. El límite no existe.

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