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Las estructuras más intrincadas y bellas de las matemáticas.

En el diciembre de 2010 de la revista Scientific American, un artículo "Una Teoría Geométrica de la Todo", por A. G. Lisi y J. O. Weatherall los estados "... lo que es sin duda el más intrincada estructura conocida de las matemáticas, la excepcional Mentira grupo E8." En otros lugares en el el artículo dice: "... lo que es tal vez la más bella estructura en todos las matemáticas, la más grande de simple excepcional Mentira grupo. E8." Son estos sensible declaraciones? ¿Cuáles son algunos de los otros candidatos para el más intrincado de la estructura y de la la mayoría de la bella estructura en toda la matemática? Creo que el debate debe ser confinado a "objetos individuales" y no tan generales "estructuras" como moderna de la geometría algebraica.

Pregunta formulada por Richard Stanley


Aquí están los mejores candidatos hasta el momento:

1) El absoluto Galois grupo de los racionales

2) Los números naturales (y sus variantes)

4) Homotopy grupos de esferas

5) El conjunto de Mandelbrot

6) El Littlewood Richardson coeficientes (representaciones de $S_n$ etc.)

7) La clase de los números ordinales

8) El monstruo del vértice de álgebra

9) Clásica de Hopf fibration

10) Exótico Mentira grupos

11) El conjunto de Cantor

12) El 24 dimensiones de embalaje de la unidad de las esferas con los besos número 196560 (relativa a la 8).

13) El simplicial simétrica esfera espectro

14) F_un (lo que sea)

15) El Grothendiek-Teichmuller de la torre.

16) Riemann zeta función

17) Schwartz espacio de funciones

Y hay un par más...

73voto

GavinR Puntos 1708

La absoluta Galois grupo de $\mathbb{Q}$. Contiene la información de todas las extensiones algebraicas de los racionales - y por lo tanto es el más importante objeto de la teoría algebraica de números. Representaciones de Galois absoluto de grupo son fundamentales para muchos diophantine preguntas; véase, por ejemplo, la Taniyama-Shimura conjetura (aka modularidad teorema) que condujo a una solución de último teorema de Fermat y los estados en alguna forma que ciertas representaciones de Galois asociado a curvas elípticas vienen de las formas modulares.

Uno de los más intrincado conjunto de conjeturas se dedica (en parte) para el estudio de las representaciones de la absoluta Galois grupo de $\mathbb{Q}$: el programa de Langlands.

43voto

Chris AtLee Puntos 3656

El (estable o inestable) homotopy grupos de esferas son sin duda considerada intrincados y hermosos por topologists.

Aquí está una interesante (obvio) hecho sobre el estable homotopy grupos de esferas que he aprendido de Vigelik:

En la categoría de anillos conmutativos (con la unidad) no es un objeto inicial, $\mathbb{Z}$. Esto parece ser una razón de que los números enteros son importantes o más bien fundamental. Pero hay algo más fundamental! Hay un functor de conmutativa anillos anillo de espectros, la Eilenberg-MacLane functor. $H\mathbb{Z}$ ya no es la inicial en esta categoría, la esfera de espectro es! Así que de alguna manera estable homotopy grupos de esferas son una genial/fundamental anillo.

Yo no sé mucho acerca de la inestabilidad de la configuración, pero hay una gran cantidad de datos que tiene.

Creo que Lennart del punto sobre la complejidad y la complejidad que aparecen cuando usted comienza a tratar de calcular la cosa suena como una confusión de lo que uno de los medios por los intrincados y complejos. Pero no, no es el desorden de la computación que hace que sea complicado, es la forma de burlas, aparte de los conocimientos que tenemos en formas significativas que me llevan a creer que se trata de una muy compleja objeto. Especialmente a todos los de la teoría de los números ocultos en la cromática de la imagen, que es parte de lo que Lennart se refiere a cuando se refiere a los módulos de la pila del grupo formal de las leyes.

Editar: A mi asesor señaló otra razón por la que la estable homotopy grupos de esferas son cool: $\pi^S_{*}(S^0)=\pi_{*}(B\Sigma_{\infty})$, por lo que la estable homotopy grupos de esferas son la homtopy grupos de la clasificación del espacio de la categoría de conjuntos finitos y bijections. Este es esencialmente el de Barratt-Priddy-Quillen teorema (me han dicho, no sé la declaración precisa). Que es bastante fresco! Toda la información acerca de los conjuntos finitos sentado allí tiene que haber algo.

(parece que hay que buscar bien ahora, por favor, ignore el golpe)

34voto

Prasham Puntos 146

El monstruo vértice de álgebra.

Es (hasta la fecha) el objeto central en la monstruosa luz de la luna, ya que su carácter es el $q$-expansión de la modulares $J$-función, su automorphism grupo es el monstruo simple grupo, y el graduado de la traza de cualquier elemento del monstruo es el $q$-expansión de un género cero modular la función. La construcción de esta estructura (por Frenkel, Lepowsky, y Meurman) consiste en subir una jerarquía de objetos que son de por sí bastante complicado y hermoso.

  1. Uno comienza con la extended binary Golay código de longitud de 24. Hasta simetrías, es la única copia de $\mathbb{F}_2^{12}$ en $\mathbb{F}_2^{24}$, por lo que cualquiera de los cinco vectores de la base están contenidas en una única palabra (es decir, se forma una Steiner $(5,8,24)$ sistema). Los codewords están separados por la distancia de Hamming, al menos, 8, por lo que incluso si 3 bits de una palabra de código se cambió el error puede ser corregido. El automorphism grupo del código de Golay es la esporádica simple grupo de $M_{24}$ de fin de 244823040.

  2. Utilizando el código de Golay para producir las coordenadas de los generadores, se construye la Sanguijuela de celosía $\Lambda$, que es un lugar densamente poblado de copia de $\mathbb{Z}^{24}$ en $\mathbb{R}^{24}$. Uno también puede hacer la Sanguijuela de celosía como un subquotient de los unimodular de celosía $I\!I_{25,1}$, que tiene sus propias propiedades excepcionales. Peter Shor menciona la Sanguijuela de celosía en otra respuesta, así que voy a señalar que su automorphism grupo es una doble cubierta de Conway esporádicos simple grupo de $Co_1$, que ha pedido 4157776806543360000.

  3. Para cualquier positiva definida, incluso celosía $L$, hay un canónica de la construcción de un vértice del álgebra de operadores calificados por que celosía, llamado el entramado vértice álgebra $V_L$. Creo que los físicos dicen que es el álgebra de quirales simetrías de la teoría conforme de campos que describe un bosonic cadena de propagación en el torus $L \otimes \mathbb{R}/L$ (pero puede que se me han mezclado las palabras). Tiene una acción de la holomorph de la algebraicas torus $L \otimes \mathbb{C}^\times$.

  4. El "-1" automorphism de la Sanguijuela de celosía induce un automorphism $\theta$ de % de$V_\Lambda$, y hay un único, irreductible $\theta$-twisted módulo de $V_\Lambda(\theta)$ que hereda de una acción de la centralizador $2^{1+24}.Co_1$ de % de $\theta$ en el automorphism grupo de $V_\Lambda$. El monstruo vértice álgebra está constituida por la suma directa de puntos fijos: $V^\natural = (V_\Lambda)^\theta \oplus (V_\Lambda(\theta))^\theta$.

Al parecer, la parte más difícil fue probar que el monstruo actúa en $V^\natural$ por automorfismos.

Hay algunos adicionales conjetural razones para considerar que es hermoso:

  1. En el mismo papel para el que fue construido, se conjeturó a ser el único vértice del álgebra de operadores con el centro de carga de 24 de caracteres igual a la modulares $J$ función, y la representación de la categoría equivalente a $Vect$. (Naturalmente, esto no tiene en cuenta la mayor estructura como el trenzado de los módulos.)

  2. Witten sugerido que es dual puro de 3 dimensiones de la gravedad cuántica con un mínimo de constante cosmológica por AdS/CFT de la correspondencia.

33voto

Alex Coplan Puntos 270

Ya que una de las preguntas Son estas sensatas declaraciones?, me permite contestar con un rotundo NO, y de ser el registro sobre el tamaño del egoísmo inherente en las declaraciones de Scientific American. Como el más grande de simple excepcional Mentira grupo, E8 merece el crédito por ambos complejidad y belleza. pero el autor parece dar a entender que el tamaño del disco hace E8 no sólo a los más complejos pero también más hermoso que el otro simple excepcional Mentira grupos.

Concedido no sé mucho acerca de la Mentira de los grupos, pero realmente me molesta que un juicio estético puede estar basado en el tamaño en sí. Última vez que lo comprobé, pinturas no son juzgados por su tamaño.

31voto

Sergio Acosta Puntos 6450

El Conjunto de Mandelbrot es ampliamente considerada como la bella y compleja, aunque no puedo dar una definición matemática para aquellos.

Mandelbrot Set image

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El imperfecto de auto-similitudes no son un accidente. Muchas de las piezas corresponden a los comportamientos de la crítica punto de $0$ bajo iteración de $z \to z^2 + c$.Cada punto en el plano, hay un correspondiente conjunto Julia, y la relación del punto para el conjunto de Mandelbrot indica la estructura de la Julia.

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