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Dados poliédricos justos pero irregulares

Estoy interesado en la determinación de una colección de condiciones geométricas que se garantiza que un poliedro convexo de $n$ caras es una feria de morir en el sentido de que, al azar de rodadura, es igual a $1/n$ probabilidad de el aterrizaje en cada una de sus caras. (Suponga que el poliedro está compuesto de un material homogéneo; es decir, no es "cargado.")

No ha sido el estudio de lo que Grünbaum y Shephard llamada isohedralpoliedros, que siempre representan la feria de dados: "Un isohedron es un poliedro convexo con simetrías que actúa transitivamente sobre sus caras con respecto al centro de gravedad. Cada isohedron tiene un número de caras." Es claro que tal poliédrica morir es justo. Aquí es un ejemplo de la trapezoidal dodecaedro, un isohedron de 12 caras congruentes, de un atractivo sitio web en dados poliédricos:
          trapezoidal dodecahedron
Pero un argumento ingenioso en un encantador papel por Persi Diaconis y Joseph Keller ("La Feria De Los Dados." Amer. De matemáticas. Mensual 96, 337-339, 1989) muestra (esencialmente, por la continuidad) que debe ser justo dados poliédricos que no son simétricos. Por ejemplo, no hay ninguna razón para esperar que la igualdad de áreas de la cara es una condición necesaria para una poliédrica que morir para ser justos. Tampoco es razonable esperar que la distancia desde cada cara del centro de gravedad de la poliedro es solo una determinación de la condición. Sino que debe depender de los ángulos diedros entre las caras, la probabilidad de una cara pasar a la siguiente—tal vez una cadena de Markov de las transiciones?

Mi pregunta es:

Es una colección de condiciones geométricas—más amplio que isohedral—que garantizan que (tal vez asimétricos, tal vez desigual-cara-áreas) poliedro convexo representa una feria de morir?

Condiciones suficientes dio la bienvenida, las condiciones necesarias y suficientes que puede ser mucho esperar! Especulaciones y de la literatura lleva apreciado!

26voto

pacoespinoza Puntos 105

A veces tengo esencialmente a esta pregunta de los no-matemáticos, algunos de los cuales están muy contentos con su apelación ante el Teorema del Valor Intermedio. Pero yo siempre respondo que toda la discusión es una tontería absoluta: el único posible la idea de una feria de morir es un isohedral uno, porque para cualquier otro dado, depende de cómo usted lo lanza.

¿A qué nos referimos al decir que un dado tiene la misma probabilidad de la tierra en cualquiera de sus caras: ¿cuál es el elemento aleatorio? En teoría, si pudiéramos medir con precisión la velocidad y el giro de la mordaza mientras se libera así como los coeficientes de fricción y de la restitución, etc, se podría trabajar en avanzar en la cara del dado de la tierra en, lo que en este sentido no hay azar. La aleatoriedad sólo surge cuando usted elige cómo lanzar el dado: el lanzador selecciona a partir de un continuo de "posibles tiros", y suponemos que las muestras de algunos de distribución de probabilidad de este continuo. Además, hay una acción de la rotación del grupo de morir en este continuo, y de lo que significa decir que un isohedral morir es justo es que asumimos que la distribución de la probabilidad de que el lanzador de los usos es invariante bajo esta acción. No es más sensato suposición de que podemos hacer acerca de la distribución de probabilidad que se asegurará de que las dos caras de la die que no están en la misma órbita en virtud de la rotación de grupo va a ocurrir con la misma frecuencia. Sin embargo, el "evidente" es que un octogonal de la moneda es muy raro de la tierra sobre su borde, y un lápiz es muy raro a la tierra en su final, no hay manera significativa a encontrar un término medio entre estos. Así, no es significativo de las matemáticas a hacer aquí. (Siéntase libre de sustituir "puro" para "significativo" en la última frase.) Si usted quería hacer una máquina de tirar un dado en una forma estándar, entonces usted no tendría la oportunidad de hacer una feria de morir, ya que con una máquina perfecta de morir siempre de la tierra en la misma cara.

Por cierto, la discusión anterior sugiere que incluso isohedrality no es suficiente para una feria de morir - exigimos que haya sólo una órbita de caras en virtud de la rotación del grupo de morir, no el total de symetry grupo.

23voto

Bill Thurston Puntos 19407

Dependiendo de las reglas y la técnica, una persona tirar un dado razonablemente puede controlar la cantidad de momento angular, la energía cinética total en el primer tierras y el ángulo de su trayectoria.

Quiero suponer que las colisiones de morir con el lanzamiento de la superficie tienen un nivel razonablemente alto coeficiente de restitución, basta con que el morir será objeto de un buen número de éxitos en la superficie antes de que se viene a descansar. (Uno podría imaginar un modelo alternativo, donde el principal aleatorización es agitando el morir antes de tirar, y al morir deja de donde aterriza ---- pero esa no es la situación que me interesa discutir).

Creo que hay un rango razonable de poliédricas morir formas y energías donde si el rebote fueron completamente elástica, el sistema podría ser ergodic --- las posibles posiciones y los movimientos de la die, hasta traducciones en el plano de el lanzamiento de la superficie, sería visitado una.s. en proporción a su medida entre todos los estados de la misma energía. Si la superficie de la lámina eran suaves, pero sólo marcó en diferentes áreas de contacto, esto no suele ser cierto: KAM teoría (pequeños divisores y invariante tori) muy a menudo hace que no se ergodic. Si al morir puede actuar como un trompo, no ergodic en que el nivel de energía. Pero creo que de los rolling mueren más como una partícula choca con numerosos obstáculos, y, como los sistemas que a menudo son ergodic.

El balanceo de un verdadero morir no es perfectamente elástica, y la energía cinética se pierde gradualmente.

He aquí una hipótesis que debe garantizar la equidad en el caso límite en el que la energía se pierde muy lentamente: supongamos que tenemos una regla para la partición del espacio de fases en sistemas de $A_i$ associaed con los diferentes resultados posibles. Queremos

  1. La intersección de $A_i$ con cada nivel de energía E tiene un volumen de $V(E)$ independiente de $i$.

  2. La dinámica es ergodic en cada uno de los componentes de cada nivel de energía que cruza más de una $A_i$.

  3. El etiquetado por $A_i$ depende razonablemente en el nivel de energía --- para cada par de cerca los niveles de energía $E$ e $F$, para la mayoría de las $x$ en el nivel de energía de $E$ y más $y$ en el nivel de energía $F$ tal que $d(x,y) < \epsilon$, $x$ y $y$ están en el mismo estado. Además, el etiquetado no debe túnel a otro de los componentes conectados de el espacio de fase de energía $<\le E$: los ratios de medición de $A_i$ cruzaba con cada componente de un nivel de energía debe permanecer igual.

Con estas hipótesis, con lo suficientemente lenta de la pérdida de energía, el estado final debe estar distribuidos de manera uniforme.

Si la dinámica suficiente de los niveles de energía también tiene un nivel razonablemente alto de la entropía y de la mezcla (yo creo que ambos son propensos a ser cierto razonable de morir formas), entonces la uniformización debe ocurrir bastante bien realista en las tasas de pérdida de energía.

La gran dificultad, aunque es condición (1). Creo que bastante a menudo, incluso con una simétrica morir, el espacio de fase se desconecta bien antes de morir viene a descansar.

Para una estándar cúbico de morir, ¿cuáles son los componentes del espacio de fase justo encima de donde se asienta sobre una cara? Creo que se puede rodar en los 4 lados y no tener la energía suficiente para cambiar el que los cuatro lados. En el mismo nivel de energía, podría estar girando lentamente sobre un eje vertical en una cara. Si es así, que haría 9 componentes, 6 de los cuales ya se han comprometido a una cara. Estos son el tipo de cosas que uno necesitaría para entender a mostrar un asimétrica morir es justo. Con más complicada dados, la fragmentación en componentes se ve mucho más complicado.

El volumen del espacio de fase deben ser equitativamente repartido en cada transición, donde el espacio de fase se desconecta, hasta que el resultado final está determinado, de lo contrario, uno podría influir en el resultado de la energía de la banda.

Connely sugerencia de un trenzado deltoidal Icositetrahedron podría funcionar, pero podría fallar la prueba de (1) los niveles de energía están disminuidos. A pesar de que cada cara es la misma, yo no estoy convencido de que la fragmentación de los continentes, antes de morir se ha asentado en una cara, sería justo, ya que es de suponer que depende más grande de los barrios que no son exactamente los mismos.

Si uno entiende en detalle cómo los componentes de los niveles de energía independiente y si no hay también muchos de ellos, entonces uno debe, en principio, ser capaz de diseñar un morir para ser justos con la ayuda de la Brouwer teorema de punto fijo (multi-dimensional teorema del valor intermedio). Parece ser todo un reto, sin embargo, para todos, pero los más simples ejemplos, cuando sólo hay un pequeño número de clases de simetría de las caras.

Probando 2 parece un reto importante. Supongo que podría estar equivocado, podría estar normalmente no ergodic. Es que vale la pena pensar en su propio derecho.

Más ideas: Real dados están hechas con bordes redondeados y con esquinas redondeadas. Cómo este redondeo se hace parece significativo.
Si la imagen proyectada de un dado a lo largo de un cierto eje es casi redonda, a continuación, en niveles bajos de energía debe rodar más fácilmente sobre los ejes de alrededor de ejes donde la proyección se llena de baches, en igualdad de condiciones. Esto sugiere componentes más grandes de la fase de espacio para este tipo de rollos, cuando el espacio de fase se desconecta. También, dependiendo de los detalles de la forma, parece probable que hay ergodic componentes asociados con el desplazamiento en los niveles de energía de arriba, donde el espacio de fase se desconecta --- esto es similar a la estabilidad de una rueda de rodadura en somwhat accidentado del terreno, lo que se explica por la teoría KAM.

Parece interesante tratar de diseño de formas que aparecen justo, pero no lo son, por la explotación de este tipo de comportamiento: la creación de rodadura de modo o modos de balanceo que, como el morir se establece, tienden a canalizar el comportamiento de los resultados deseados.

11voto

codemeit Puntos 9327

Joe,

Aquí es convexa polytope que podría ser una feria de morir. Considerar la rhombicuboctahedron que es uno de los sólidos Arquimedianos. Hay tres anillos de caras cuadradas, cada una de las cuales se divide el poliedro en la mitad. Tomar uno de estos anillos y gire la parte superior de la mitad de 45 grados. Este es un famoso "falso" de Arquímedes sólido. El grupo de simetría de este polytope no es transitiva en todos sus vértices. Hay dos órbitas de los vértices de 8 y 16 vértices de cada uno. Tomar el doble de este polytope. Cada cara es un deltoides/kite. Todos los 24 de las caras son congruentes y a la misma distancia desde el centroide, pero no es isohedral. Creo que todos los segundos momentos son iguales también. Es esta una feria de morir?

Bob C.

10voto

Peter Puntos 1681

Este es un intento de responder a los comentarios incisivos de Steve Cazador, Tom Goodwillie, Matt Fayers, y Ori Gurel-Gurevich; demasiado largo para un comentario, y no es una extensión de la pregunta.

Permítanme sugerir un modelo de la siguiente manera. El poliedro $P$ está orientado al azar, y luego se deja caer desde una altura de $h$ a un infinito plano. Deje $k$ representan una medida de la elasticidad entre el el material de que $P$ es compuesto y el material de la planta plano, y deje $\mu$ ser un coeficiente de fricción entre el $P$ y el piso. Entonces la probabilidad de $p_i$ que $P$ va a venir a descansar en la cara de $i$ es alguna función de estos tres parámetros: $p_i( h, k, \mu )$. Aunque, al parecer, no hay duda de que $p_i$ no varían con estos tres parámetros, mi intuición es que, dentro de un amplio rango de "razonable" de los valores de los parámetros, $p_i$ es casi una constante. Me gustaría especialmente esperar que esto se sostenga si $P$ es "ronda", decir, todos los vértices de $P$ acostará sobre una esfera ($P$ está inscrito). Y entonces, si todas las $p_i$ eran casi constante e igual, me gustaría declarar esta una feria de morir.

Tengo que admitir que no puedo precisar esta intuición. E incluso si pudiera, puede ser que Matt es correcto que "no hay ninguna significativo de las matemáticas a hacer aquí." Pero puedo conservar alguna esperanza.


Permítanme usar la no-respuesta a mostrar una imagen de un heptahedron que sigue a la Diaconis-Keller/insomnio de la construcción, pero en la que me ajustar las dimensiones para satisfacer Benoît Kloeckner la idea de igualdad de los ángulos sólidos, en este caso acerca de 1.795 steradians por la cara, que es $4 \pi / 7$:
          Heptahedron

8voto

Thomas Puntos 18

Sí, hay condiciones más amplio que isohedral simetría que garantiza un poliedro convexo representa una feria de morir. Considere la posibilidad de un teetotum o dreidl. Estas formas no son isohedra, pero son matemáticamente justo dados en el sentido de que cada cara tiene una oportunidad igual de ser lanzado. Cierto, no son convexas, pero sólo se puede aterrizar en el casco convexo, entonces usted podría considerar la posibilidad de utilizarlos de manera eficaz convexo o modificar fácilmente para que estamos convexa, mientras que la preservación de la propiedad de ser no-isohedral feria de dados.

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Esas formas son ejemplos de una clase de objeto que me llame polyisohedra ( http://loki3.com/poly/polyisohedra.html ), donde los conjuntos de caras son equivalentes. Un polyisohedron modificado con el adecuado polyisohedral simetría conserva la propiedad de ser una feria de morir, que es como yo derivar teetotums y dreidls de esta más en la categoría general de la feria de dados.

Un ejemplo sencillo de un polyisohedron es un cubo en el que se combinan pares adyacentes de caras, fundamentalmente, en hacer una feria de 3 colindado muere. Más interesante, sin embargo, son los casos donde se han de combinar múltiples caras para hacer la forma en que una feria de morir. Un ejemplo es un gyrobifastigium, Johnson sólido con 4 caras cuadradas y 4 triángulo equilátero caras. Obviamente no es una feria de 8 caras morir, pero si se le da la misma etiqueta a cuadrado-triángulo cara pares, usted termina con una feria de 4 lados morir. De esta forma, el triangular de lados no son estables, por lo que sólo pueden aterrizar en la plaza de las caras, pero esta no es una característica necesaria. Sin embargo, la inestabilidad de las caras son utilizadas en otros no isohedral formas comúnmente utilizados como la feria de dados, tales como barriles.

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Tengo más ejemplos y detalles publicados en http://loki3.com/poly/fair-dice.html.

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