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Las aplicaciones del teorema de Cayley-Hamilton

El teorema de Cayley-Hamilton suele presentarse en los cursos estándar de licenciatura en álgebra lineal como un resultado importante. Recordemos que dice que cualquier matriz cuadrada es una "raíz" de su propio polinomio característico.

Pregunta. ¿Tiene este teorema aplicaciones importantes?

Al no ser algebraísta, sólo conozco una aplicación de este resultado que yo llamaría importante; es muy básica para el álgebra conmutativa, la geometría algebraica y la teoría de los números. Es la siguiente. Dejemos que un anillo unital conmutativo $A$ se incrustará en un campo $K$ . Considere el conjunto de elementos de $K$ que son integrales sobre $A$ es decir, son raíces de un polinomio con coeficientes en $A$ con el coeficiente de avance igual a 1. Entonces este conjunto es una subrutina de $K$ .

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Establece la relación entre el polinomio mínimo (de hecho, la existencia de un polinomio mínimo) y el polinomio característico, que a su vez es clave para el desarrollo de formas canónicas para la matriz.

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El lema de Nakayama se suele demostrar utilizando una generalización suave de Cayley-Hamilton, y es bastante importante.

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@ArturoMagidin: tienes razón, existe ese enfoque para enseñar la forma Jordan. En el enfoque que utilizo en mis clases, el teorema de Cayley-Hamilton se deduce de la existencia de la forma de Jordan.

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Ed Haber Puntos 1121

Cayley-Hamilton puede ser útil en el álgebra conmutativa. En relación con su estrecha conexión con el lema de Nakayama, como se menciona en un comentario de Qiaochu (véase también Wikipedia ), véase por ejemplo el desarrollo dado en el proyecto Stacks aquí . Entre las consecuencias que me parecen algo geniales y quizás hasta un poco sorprendentes a primera vista, tenemos

  • Dejemos que $M$ sea un módulo finitamente generado sobre un anillo conmutativo. Entonces cualquier mapa de módulo suryente $M \to M$ es un isomorfismo.

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Lo más sorprendente es que la afirmación correspondiente para un mapa de módulo inyectivo es trivialmente falsa (por ejemplo $2:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ )

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@DenisNardin: Que la subjetividad sea de alguna manera más fuerte que la inyectividad (no como regla, por supuesto, sino como heurística) es un hilo conductor en el álgebra. Hay un resultado similar sobre las álgebras en lugar de los módulos: math.stackexchange.com/questions/1217452 pero éste está esperando que su teorema de Cayley-Hamilton le dé una prueba constructiva.

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Piyush Grover Puntos 624

En teoría de control, se utiliza para definir conceptos muy importantes de observabilidad y controlabilidad de sistemas lineales.

http://www.ece.rutgers.edu/~gajic/psfiles/chap5traCO.pdf

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Aaron Puntos 86

El teorema de Cayley-Hamilton puede utilizarse para demostrar la fórmula de Gelfand (cuyas pruebas habituales se basan en el análisis complejo o en las formas normales de las matrices).

Dejemos que $A$ ser un $d\times d$ matriz compleja, dejemos que $\rho(A)$ denotan el radio espectral de $A$ (es decir, el máximo de los valores absolutos de sus valores propios), y que $\|A\|$ denotan la norma de $A$ . (Fija tu norma matricial favorita).

La fórmula de Gelfand : $\rho(A) = \lim_{n \to \infty} \|A^n\|^{1/n}$ .

Prueba: La elección de la norma no afecta a la validez del resultado, por lo que hay que elegir una norma de operador. La existencia del límite $r:=\lim_{n \to \infty} \|A^n\|^{1/n}$ es una simple consecuencia de la submultiplicatividad de las normas (por Lemma de Fekete ). La existencia de vectores propios (complejos) implica $r \ge \rho(A)$ por lo que la parte no trivial es demostrar que $r \le \rho(A)$ .

Del teorema de Cayley-Hamilton se deduce que $$\|A^d\|\le C \rho(A) \|A\|^{d-1},$$ donde $C>0$ es una constante que depende únicamente de $d$ ; este es un ejercicio sencillo -- o vea esto puesto por Ian Morris para los detalles.

Aplicando esta desigualdad a $A^n$ y tomando la $n$ -ésima raíz obtenemos: $$\|A^{dn}\|^{1/n}\le C^{1/n} \rho(A) \|A^n\|^{(d-1)/n}.$$ Hacer $n \to \infty$ obtenemos $r^d \le \rho(A) r^{d-1}$ concluyendo así la demostración de la fórmula de Gelfand.

Referencia :

Jairo Bochi , Desigualdades para invariantes numéricos de conjuntos de matrices , Álgebra Lineal Aplicada 368 (2003), 71--81.

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La continuidad de $\rho(A)$ en las entradas de la matriz es un corolario trivial: $\rho(A)=\lim_{n\to\infty}\|A^n\|^{1/n}=\inf_{n \geq 1}\|A^n\|^{1/n}$ es obviamente semicontinuo superior, y $\rho(A)=\lim_{n \to\infty}\left(\frac{\|A^{nd}\|}{C\|A^n\|^{d-1}}\right)^{1/n}=\sup_{n \geq 1}\left(\frac{\|A^{nd}\|}{C\|A^n\|^{d-1}}\right)^{1/n}$ es obviamente semicontinuo inferior.

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Me siento dudoso. La fórmula de Gelfand es válida en toda álgebra de Banach unital $\cal A$ . Si la dimensión de $\cal A$ es infinita, la CH no es válida. Por lo tanto, la prueba natural de la Fórmula de Gelfand no debe implicar la CH. En cambio, implica la teoría elemental de las funciones holomorfas.

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@DenisSerre No creo en un orden total en el conjunto de pruebas. Por cierto, la desigualdad de mi prueba se puede extender a establece de las matrices y, entre otras aplicaciones, se utiliza para demostrar una versión de la fórmula de Gelfand en este entorno, a saber, el teorema de Berger-Wang.

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PabloG Puntos 9308

Esto puede ser demasiado trivial para lo que tienes en mente, pero siempre me ha parecido útil Cayley-Hamilton para calcular los vectores propios de una matriz cuadrada dados los valores propios, sin tener que resolver ninguna ecuación adicional.

Supongamos que se tiene una matriz cuadrada $A$ en $\mathbb{C}$ , digamos, y que has determinado su polinomio característico $$ \chi_A(z) = (z-\lambda_1)(z-\lambda_2) \cdots (z-\lambda_N) $$ donde los valores propios $\{\lambda_i\}$ puede repetirse. Entonces, si eliges cualquier vector $v$ Cayley-Hamilton te dice que $$ (A-\lambda_1)\cdots (A-\lambda_{i-1})(A-\lambda_{i+1})\cdots (A-\lambda_N) v $$ se encuentra en el núcleo de $(A-\lambda_i)$ para todos $i$ . (Podría ser cero, por supuesto, así que hay que jugar un poco a veces).

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¿Es menos trabajo calcular ese producto que resolver el sistema de ecuaciones correspondiente?

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@GerryMyerson Si el $\lambda_i$ son distintos entre sí, la expresión $(A-\lambda_1)\cdots(A-\lambda_{i-1})(A-\lambda_{i+1})\cdots(A-\lambda_n)$ es un casi-idempotente. De hecho $\prod_{j\neq i} \frac{A-\lambda_j}{\lambda_i-\lambda_j}$ es la proyección sobre el $\lambda_i$ -eigenspace. Por lo tanto, se puede leer un conjunto generador del eigespacio a partir de esta matriz sin resolver ninguna ecuación lineal. La suposición de que el $\lambda_i$ son distintos en realidad hace que los eigenspaces sean unidimensionales, de modo que cualquier columna distinta de cero es base para el eigenspace.

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Pero, por supuesto, esto no es menos trabajo en el sentido de la complejidad. Se necesita $O(n^{1+\omega})$ para calcular el producto ( $\omega$ siendo el exponente óptimo para la multiplicación de matrices. En particular $2\leq \omega < 3$ ) pero sólo $O(n^3)$ para resolver la ecuación con el algoritmo de Gauß.

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psweeney Puntos 16

Una buena aplicación es la de Ilya Bogdanov respuesta de mathoverflow que demuestra en menos de $3$ líneas que los elementos de $\text{GL}(n,\mathbb F_q)$ tienen un orden como máximo $q^n-1$ .

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