Interpretación geométrica de la derivada.

Question

Para $f(x)=x$, la mitad derivados de $f$ es $$\frac{d^{\frac{1}{2}}}{dx^{\frac{1}{2}}} x = 2 \sqrt{\frac{x}{\pi}} \;.$$ Hay algunos interpretación geométrica de (Q1) esto específicos derivados, y, (Q2) de la mitad de derivados más general? He leído que fraccional derivados son no locales, pero me parece extraño que la integral de derivados puede ser descrito en términos de local la geometría única, mientras que las fracciones de los derivados no pueden ser descritas. Esto sugeriría un extraño discontinuidad entre, digamos, $d^{1}$ e $d^{1.01}$. Esto parece especialmente en desacuerdo con las muchas aplicaciones de la fracción de derivados, que (superficialmente) sugiere la continuidad de su reinado.

Agradecería que alguien aclarar mis primaria confusiones—Gracias de antemano!

Addendum (5Jan14). @AlexR. encontrado esta interpretación geométrica de la la fracción integral en Richard Herrmann libro, Fracciones de Cálculo: Una Introducción para los Físicos,Mundo Científico, 2011:
   

Answer 1

Una posible interpretación mecánica de la mitad de derivados puede ser dada en términos de Abel solución a un problema clásico del cálculo de variaciones (el tautochrone problema).

Hágase una partícula pesada que está obligado a deslizar sin fricción a lo largo de la curva de $y=y(t)$ en uniforme de gravedad a su el punto más bajo. Entonces, dada una función de $T(y)$ que especifica el total de tiempo de descenso para una determinada altura inicial de lo que es una ecuación de la la curva que se obtiene este resultado?

El principio de conservación de la energía implica que la distancia $S=S(t)$ recorrida por la partícula a lo largo de la curva de la altura inicial $y_0$ satisface la ecuación $$\left(\frac{dS}{dt}\right)^2=2g(y_0-y).$$ Esto es equivalente a la ecuación integral $$T(y_0)=\frac{1}{\sqrt{2g}}\int_0^{y_0}\frac{1}{(y_0-y)^{1/2}}\frac{dS}{dy}dy.$$

La r.h.s. de la última ecuación no es otra cosa sino la de Riemann–Liouville fraccional integral de $f=\pi^{1/2}(2g)^{-1/2}dS/dy$, es decir, $$D^{-\alpha}f(x)=\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_0^x (x-y)^{\alpha-1}f(y)dy$$ de la orden de $\alpha=1/2$.

La solución a Abel de la ecuación integral $dS/dy$ puede ser interpretado (hasta un factor constante) como el medio derivado de la $T=T(y_0)$.