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Fibras ópticas después de Joseph O'Rourke

Deje $\gamma\colon[a,b]\to \mathbb R^3$ ser una curva con curvatura $< 1$. Considere un tubo, formado por un parámetro de familia de la unidad de círculos con centro en $\gamma(t)$ en el plano ortogonal a $\dot\gamma(t)$.

Un rayo de luz que está llegando en el tubo de un extremo y de rebote con un perfecto reflejo de las paredes interiores surgirá desde el otro extremo con probabilidad 1; ver a esta pregunta. Vamos a llamar a un tubo con esta propiedad de una fibra óptica. (Tenga en cuenta que quiero una fibra óptica a ser bidireccional.)

Uno puede construir una fibra óptica a lo largo de las mismas líneas de usar cualquier simple cierre suave plano de la curva de $(x(\theta),y(\theta))$ en lugar de un círculo. Para hacer esto uno tiene que elegir un paralelo normal fotograma $e_1,e_2$ a lo largo de $\gamma$ (es decir, tal que $\dot e_i(t)\parallel\dot\gamma(t)$ para todos los $t$) y considerar el tubo de $[a,b]\times\mathbb S^1\hookrightarrow\mathbb R^3$ se define como $$(t,\theta)\mapsto \gamma(t)+x(\theta){\cdot}e_1(t)+y(\theta){\cdot}e_2(t)$$ (La condición de que la estructura es paralela implica que cualquier plano normal a $\gamma$ cortes de tubo en ángulo recto.) De esta manera se obtiene una fibra óptica con congruente extremos.

Pregunta 1. Hay construcciones de fibra óptica diferente a la descrita anteriormente?

En otras palabras, es siempre posible para cortar las fibras ópticas, por planos que cortan las paredes en ángulo recto?

En particular,

Pregunta 2. Hay una fibra óptica con noncongruent termina?

Comentarios

  • Creo que la respuesta es "NO", pero no tienen idea de "por QUÉ".
  • A partir del teorema de Liouville, es claro que los extremos deben tener la misma área.
  • Me di cuenta de que si las paredes son sólo seccionalmente suave entonces uno puede hacer de una fibra óptica con un par de equidecomposable figuras en los extremos. (La construcción es el mismo, pero uno se divide el tubo de par en el camino y, a continuación, reorganizar de nuevo juntos.)
  • En la dimensión 2, una línea que pasa a través de los puntos focales de los cortes de confocal de elipses de una fibra óptica. (He aprendido de Arseniy Akopyan.) No sé suave 3D ejemplos de ese tipo. [También se podría imponer una condición adicional en las fibras ópticas, que un rayo que se inicia en el interior de las hojas con probabilidad 1. La describe confocal-puntos suspensivos-ejemplo no tiene esta propiedad.] enter image description here
  • Un extracto de la respuesta de Marcos Cossarini: tenga en cuenta que si se puede cortar una fibra óptica en dos piezas de tal manera que casi todos los radios de pasar el corte en más de una vez, a continuación, el corte tiene que ser plana y ortogonal a la frontera. Después de dicha corte, se obtiene de dos fibras ópticas. Aplicar un poco de geometría diferencial el problema puede reformularse en una forma equivalente: es cierto que cualquier fibra óptica admite tal corte.

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Penz Puntos 567

No sé por qué esta pregunta apareció ayer en mi principal mathoverflow pantalla, ya que el último comentario parece ser desde el 1 de Marzo. Yo también creo que la conjetura es verdadera, pero mi argumento tiene un montón de agujeros. Aquí es lo que yo pensaba.

Deje $\Omega$ ser una fibra óptica que es la región interior de una compacta conectada $\mathcal C^1$ de la superficie en $\mathbb R^3$, que es la unión de una superficie reflectante $R$, una partida de superficie $F_0$ y un final de la superficie de $F_1$. Supongo (0) todas las fibras ópticas son como este.

Asumir (1) que puede folio $\Omega$ por un uniparametric de la familia de superficies planas $(F_s)_{s\in[0,1]}$, de tal manera que cada rayo de partida en $F_0$ positivos inicial $\dot s$ mantiene una positiva $\dot s$, hasta llegar a $F_1$. Vamos a llamar a esto una foliada de fibra óptica. Asumir (2) que todos los $F_s$ son superficies planas y llamar planely foliada, y vamos a llamar a la fibra Petruninean si cada una de las $F_s$ es ortogonal a la superficie reflectante $R$ a lo largo de su frontera.

De la demanda (3): Cada planely foliada de fibra óptica es Petruninean.

Vamos a mi decir por qué lo creo.

Deje $m$ será el último valor tal que la fibra es Petruninean para $s\in[0,m]$. Por la búsqueda de una foliación de las curvas que es ortogonal a $F$ podemos identificar los puntos de $F_s$ a diferentes valores de $s$, y creo que de $F_s$ como uniparametric de la familia de las regiones en $\mathbb R^2$.

Conjetura (4): $F_s$ constante de la zona.

No sé por qué esto debe ser así, pero parece estar claro, Anton (si he entendido bien su comentario sobre el teorema de Liouville), y me gustaría saber por qué. Es evidente después de estudiar los problemas de billar? Voy a asumir que es cierto.

Puede $F_s$ ser no constante? Es constante hasta $s=m$, y luego comienza a cambiar. Desde el área de conservación, se debe avanzar en algunos puntos de su frontera y retroceder en otros puntos. Encontrar un punto en el que apenas ha comenzado a retroceder. Representa un punto de $P\in R$. Fuego, un rayo de $P$ a $\Omega$, con velocidad inicial ortogonal a $R$. Debido a cómo elegimos $P$, tendrá negativa inicial $\dot s$, y ajustando nuestra selección de $P$ me gustaría (5) ser capaz de asegurar que alcanza a $F_m$. Después de que la fibra óptica es Petruninean, y el rayo hace su camino a $F_0$. Mediante la inversión de este rayo, obtenemos un rayo que empieza a $F_0$, llega a $P$, y rebota a $F_0$, lo $\Omega$ no fue una fibra óptica, después de todo.

Los agujeros en el argumento sugieren preguntas más:

Pregunta 0: Es cada foliada de fibra óptica planely foliada?

Si $\Omega$ es foliada, el espacio de fase es distinto de la unión de $T\Omega_+=\{\dot s>0\}$, $T\Omega_-\{\dot s<0\}$, y su cero de la medida de la frontera común $T\Omega_0=\{\dot s=0\}$. Cada fase en $T\Omega_+$ corresponden a un rayo que salió de $F_0$ y se va a $F_1$? Si esto es cierto (y también el análogo para la declaración de $T\Omega_-$), entonces es fácil ver (por disparos de rayos entre los puntos de la misma $F_s$) que todos los $F_s$ debe ser localmente convexo, y por lo tanto plano.

Pregunta 1: ¿cada fibra óptica foliada?

Podemos expresar el espacio de fases como una unión de los set $T\Omega_+$ de las fases correspondientes a los radios que van desde $F_0$ a $F_1$, la $T\Omega_-$ se define de forma análoga (de modo que $\dot x\in T\Omega_+$ fib $-\dot x\in T\Omega_-$), y el conjunto $T\Omega_0$ de las fases correspondientes a los radios que permanecen dentro de $\Omega$ eternamente (en ambas direcciones del tiempo). Observar cómo para cada una de las $x\in\Omega$, la clasificación de las fases de particiones $T_x\Omega$ en dos conos opuestos $T_x\Omega_+$, $T_x\Omega_-$ y un selfopposite cono $T_x\Omega$.

Qué $T\Omega_0$ tienen medida cero? Son los conos convexos? Yo no tengo ni idea.

Podemos totalmente orden de las fases de $T\Omega_+$, por lo que es posible asignar un parámetro escalar, que hace posible aplicar supremum argumentos para demostrar cosas? Podemos al menos parcialmente el pedido. Hacer supremum argumentos trabajo en el posets?

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Peter Puntos 1681

Suponga que el marco normal a lo largo de$\gamma$ gira. ¿Estás seguro de que todavía constituye una fibra óptica? Me imagino, por ejemplo, torciendo suavemente una elipse de excentricidad distinta de cero.
Elipse torcido

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lterrier Puntos 31

Esta es una sugerencia que una respuesta. Me he decidido a pensar en voz alta con la esperanza de que alguien más puede tomar la forma de pensar y correr con ella.

Considere la posibilidad de que la imagen de los rayos del punto de vista, y vamos a considerar una (posiblemente no más restrictiva) la definición de un "buen fibra óptica", que no me voy a dar, sino sólo sugerir aquí. Una buena fibra óptica se asegura de que no sólo se puede pasar la luz a través de las dos maneras (es decir, es bidireccional) pero no ralentiza mucho. Yo pensaba originalmente de las 2 dimensiones de la versión de esta medida "Para cada punto p, asegúrese de que la luz reflejada apagado p va más allá de la trompa en la misma dirección", pero ahora estoy pensando "para cada abierto parche en el tubo, cuyo reflejo a través de p no se cruzan con sí mismo, asegúrese de que la reflexión no cambia mucho." Así que la idea es que la luz proveniente de una parte de la pared del tubo (P) hits p, y se refleja en golpear otra parte del tubo (Q), que P y Q son disjuntas y satisfacer algunas condiciones si son lo suficientemente pequeños, por ejemplo si P tiene un área en la mayoría de epsilon, a continuación, Q es la garantía de tener la zona no es muy diferente de epsilon veces la correspondiente escala lineal.

Con una definición adecuada de "buena fibra óptica", usted puede ser capaz de demostrar que la luz viaja rápidamente a través del tubo tan largo como la entrada de rayos es menos que, oh di 89.9 grados fuera de la perpendicular del eje del tubo. La siguiente cosa sería mostrar que cualquier fibra óptica puede ser epsilon-aproximada por buenas las fibras ópticas (o no) y, a continuación, si nuestra suerte a cabo, muestran que la respuesta a ambas preguntas NO sería buena para las fibras ópticas, y que las respuestas se mantenga en el límite de las aproximaciones.

Me pare si has oído esto antes.

Gerhard "Oh, Espera, estoy Hecho Ya" Paseman, 2011.10.13

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