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¿Cuáles son los grupos de homotopía superiores de una superficie K3?

Todas las superficies K3 tienen el mismo tipo de homotopía. ¿Cuáles son sus grupos superiores de homotopía?

Sé que$\pi_1$ es trivial, y$\pi_2$ es$\mathbb{Z}^{22}$.

Incluso si la respuesta no se conoce en todos los grados, aceptaré una respuesta si alguien me puede dar$\pi_3$.

De acuerdo con esta pregunta , puede decirme de manera equivalente los grupos de homotopía más altos de una superficie de Enrique.

57voto

Eche un vistazo al Ejemplo 6 en [1] que calcula$rk \,\pi_2 = 22$,$rk\: \pi_3= 252$ y$rk \: \pi_4 = 3520$ simplemente usando el hecho de que un cuarto en$\mathbb{P}^3$ es una superficie K3 y eso para tal Quartics es fácil de calcular el segundo número de apuesta$b_2$. El teorema principal en el artículo de Terzic es sobre calcular los rangos de$\pi_{2,3,4}$ en términos de$b_2$.

[1] Terzić, Svjetlana. Sobre la homotopía racional de cuatro múltiples. Geometría contemporánea y temas relacionados, 375–388, World Sci. Publ., River Edge, Nueva Jersey, 2004.

21voto

user25309 Puntos 2339

En el papel http://arxiv.org/abs/1303.3328 por Samik Basu y Somnath Basu, se afirma (Teorema) que el homotopy grupos de simplemente conectado cerrado 4-colector $M$ son determinados por el segundo número de Betti $k$. En particular, si $k \geq 1$ e $j \geq 3$, $\pi_j (M) = \pi_j (\#^{k-1} S^2 \times S^3)$.

Por ejemplo, usando lo que sabemos acerca de homotopy grupos de esferas, que demuestren (Corolario 4.10) que si el segundo número de Betti de $M$ es $k+1$ (lo siento por el cambio de $k$ a $k+1$, me quedo con el notaciones de la ponencia), a continuación,

$\pi_3(M) = \mathbb{Z}^{k(k+3)/2}$

$\pi_4(M)=\mathbb{Z}^{(k-1)(k+1)(k+3)/3} \oplus (\mathbb{Z}_2)^{2k}$

Para una superficie 3d $M$, $k+1=22$ así

$\pi_3(M) = \mathbb{Z}^{252}$

$\pi_4(M) =\mathbb{Z}^{3520} \oplus (\mathbb{Z}_2)^{42}$

20voto

Vetle Puntos 413

Aquí están algunos detalles sobre cómo calcular el rango de $\pi_3$. Un 3d de la superficie de $X$ es, además de ser simplemente conectado, un compacto de Kähler colector, y estos espacios son conocidos por ser formal , en el sentido de racional homotopy teoría; esto significa que su racional homotopy puede ser calculada por la búsqueda de una Sullivan modelo mínimo de sus racional cohomology de los anillos, y en particular, sólo depende de lo racional cohomology anillo. (Terzić del papel vinculado a Reimundo la respuesta de usa, en cambio, que un compacto orientado simplemente se conecta $4$-colector es formal.)

Aquí es, brevemente, cómo este cálculo funciona, al menos si no estoy malinterpretando algo. El objetivo es construir un gradual racional espacio vectorial $V^{\bullet} = \bigoplus_{k \ge 2} V^k$ y un diferencial de $d$ en el exterior álgebra $\Lambda^{\bullet}(V)$ tal que

  • el cohomology de $(\Lambda^{\bullet}(V), d)$ está de acuerdo con $H^{\bullet}(X, \mathbb{Q})$,
  • $dV$ está contenido en $\Lambda^{\ge 2}(V)$.

La maquinaria de racional homotopy teoría, junto con el hecho de que $X$ es formal y tiene homología de finito tipo, garantiza que tenemos una identificación natural

$$\pi_{\bullet}(X) \otimes \mathbb{Q} \cong \text{Hom}_{\mathbb{Q}}(V^{\bullet}, \mathbb{Q}).$$

En particular, $\dim \pi_{\bullet}(X) \otimes \mathbb{Q} = \dim V^{\bullet}$. Así que para calcular los $\dim \pi_3(X) \otimes \mathbb{Q}$ es suficiente para determinar cuántos elementos tenemos en $V^3$.

Ya sabemos que necesitamos $\dim V^2 = b_2$ donde $b_2 = \dim H^2(X, \mathbb{Q}) = 22$. La copa del producto $H^2(X, \mathbb{Q}) \times H^2(X, \mathbb{Q}) \to H^4(X, \mathbb{Q})$ toma la forma

$$\alpha \cup \beta = Q(\alpha, \beta) \gamma$$

donde $Q(\alpha, \beta)$ es la intersección de la forma y $\gamma$ es un generador de $H^4(X, \mathbb{Q})$. La única manera de imponer estas relaciones en el cohomology de $(\Lambda^{\bullet}(V), d)$ es para introducir elementos en $V^3$ cuyos diferenciales se impondrán dichas relaciones. Explícitamente, vamos a $e_1, e_2, \dots e_{22}$ ser una base ortogonal para $H^2(X, \mathbb{Q})$ con respecto a la intersección, de manera que $Q(e_i, e_j)$ es de algún valor distinto de cero múltiples de $\delta_{ij}$. Para $i \neq j$ necesitamos introducir $\frac{b_2(b_2 - 1)}{2} = 231$ nuevos elementos de $V^3$, llamarlos $f_{ij}, i \neq j$, por lo que podemos imponer a las relaciones

$$d f_{ij} = e_i \cup e_j.$$

Para $i = j$ necesitamos introducir introducir $b_2 - 1 = 21$ nuevos elementos de $V^3$, llamarlos $f_i, 1 \le i \le 21$, por lo que podemos imponer a las relaciones

$$d f_i = \frac{e_i \cup e_i}{Q(e_i, e_i)} - \frac{e_{i+1} \cup e_{i+1}}{Q(e_{i+1}, e_{i+1})}.$$

(No podemos introducir el generador de $H^4(X, \mathbb{Q})$ a $V^4$ porque no podemos imponer una relación que es lineal en este generador, por lo tanto se impone la relación que todos los de la $e_i$ plaza, a una normalización, para la misma cosa.)

En total, se consigue

$$\dim V^3 = {b_2 \choose 2} + (b_2 - 1) = {b_2 + 1 \choose 2} - 1 = 252$$

como era de esperar de las otras respuestas.

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