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¿La formación de la variedad albanesa es una mónada?

Estoy tratando de comprender la idea de un Albanese variedad. Me recuerda a algo más simple:

Dado un conjunto $X$ con un punto elegido $x \in X$, podemos formar la libre abelian grupo en el acentuados $(X,x)$, que es el libre abelian grupo en $X$ modulo una relación diciendo $x = 1$.

Si llamamos a este grupo de $A(X,x)$, tiene un agradable universal de los bienes: cualquier mapa de punta conjuntos de $f$ de $X$ en un grupo abelian $A$ factores de forma única como la inclusión obvio

$$i_X \colon X \to A(X,x)$$

seguido por algunos homomorphism

$$\overline{f} \colon A(X,x) \to A.$$

Así:

$$ f = \overline{f} \circ i_X $$

El proceso de tomar la libre abelian grupo en la punta de su conjunto define un functor

$$ A \colon \mathrm{Set}_* \to \mathrm{AbGp} $$

el que tiene un derecho adjoint

$$ U\colon \mathrm{AbGp} \to \mathrm{Set}_* $$

el envío de cualquier grupo abelian $A$ a su subyacente acentuados $(A,1)$. El compuesto

$$ U A \colon \mathrm{Set}_* \to \mathrm{Set}_* $$

es, pues, una mónada, y si no me equivoco, las álgebras de esta mónada son sólo abelian grupos.

La idea de un Albanese variedad parece ser similar, pero el trabajo con las variedades algebraicas en lugar de conjuntos. A saber:

Dado cualquier variedad $X$ con un punto elegido $x$ hay un abelian variedad llamada la Albanese variedad $A(X,x)$, al parecer, se define por la siguiente característica universal: hay un mapa de las variedades

$$i_X \colon X \to A(X,x)$$

de tal manera que cualquier mapa de punta variedades de $f$ de $X$ en un abelian variedad $A$ factores de forma única como $i_X$, seguido por algunos de mapa de abelian variedades

$$\overline{f} \colon A(X,x) \to A.$$

Así:

$$ f = \overline{f} \circ i_X $$

(El artículo de la Wikipedia en Albanese variedades no que claramente requieren que $\overline{f}$ ser un mapa de abelian variedades, pero Ravi Vakil de notas de la conferencia de hacer, así que me voy con eso.)

Así que, naturalmente, me pregunto: ¿tomar el Albanese variedad definir un functor de punta variedades abelian variedades, que tiene un derecho adjuntos, que en conjunto definen una mónada en la categoría de punta variedades cuya álgebras son los abelian variedades?

El llamado Albanese mapa de $i_X \colon X \to A(X,x) $ sería entonces la unidad de esta mónada, mientras que la multiplicación de la mónada sería el mapa de abelian variedades de $\overline{1} \colon A(A(X,x),x) \to A(X,x) $ obtenido a partir de la identidad de mapa de variedades de $1 \colon A(X,x) \to A(X,x)$.

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Howie Puntos 118

Voy a seguir adelante y dar mi comentario en una respuesta. Pero sí es una monada, pero (probablemente) no es muy interesante. Es decir, la primera nota que cualquier par de adjoint functors $L:\mathcal{C}\leftrightarrows \mathcal{D}:R$ está asociado a una mónada $RL$ a $\mathcal{C}$. La multiplicación es dada por el mapa $RLRL\overset{LR\to 1}{\to} RL$ y la unidad es $1\to RL$. Aquí las naturales transformaciones $1\to RL$ e $LR\to 1$ (con $1$ que denota la identidad functor) son la unidad y counit de la contigüidad, adjunto a la identidad de los mapas de $L\to L, \text{ } R\to R$, respectivamente. Además, dado que es un objeto $A$ de % de$\mathcal{D}$, obtenemos un álgebra $R(A)$ sobre la mónada $RL$ con la acción de morfismos $RLR(A)\overset{LR\to 1}{\to} R(A)$ inducida a partir de la counit. Esto nos da un functor $\alpha:\mathcal{D}\to Alg(RL)$ a álgebras sobre la mónada $RL$. En "la mayoría de las situaciones de la vida real", donde el functor $R$ es "olvidadizo" y $L$ es "gratis", el functor $\alpha$ a álgebras es de hecho una equivalencia de categorías. Esto puede ser comprobado de manera formal, el uso de algo que se llama el Bar-Beck monoidicity teorema (en un sentido esto es similar a la condición de un abelian categoría $\mathcal{A}$ a la categoría de los módulos a través de un álgebra: de hecho, los módulos a través de un álgebra son un caso especial de álgebras de más de una mónada).

La mónada que usted está considerando está asociado a la contigüidad $A:Sp_*\leftrightarrows Ab:F$ donde $F:Ab\to Sp_*$ es el olvidadizo functor de abelian variedades señaló espacios y $A:Sp_*\to Ab$ es el Albanese functor. La mónada es, a continuación,$FA:Sp_*\to Sp_*$. La razón de esta mónada no es muy interesante es que el olvidadizo functor $F$ es totalmente fiel (este resultado es muy interesante, y encapsula la rigidez de abelian variedades en la geometría algebraica). Esto implica que la composición de la $FA:Sp_*\to Sp_*$ es un idempotente functor. En particular, aquí se puede aplicar la teoría de idempotente mónadas, ver p.ej. https://ncatlab.org/nlab/show/idempotent+mónada. La parte 6 de definición 2.1 indicado en las notas anteriores, a continuación, nos da gratis de que la contigüidad $A:Sp_*\leftrightarrows Ab:F$ es monádico, es decir, la categoría de $Ab$ de Abelian variedades es de hecho equivalente a la categoría de álgebras sobre la mónada $FA$.

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