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Reorganizaciones que nunca cambian el valor de una suma

He publicado esta pregunta en math.stackexchange.com y hasta ahora la única respuesta publicada (también mencionado en los comentarios debajo de la pregunta), muestra que uno de mis erupción inicial conjeturas acerca de la parte inferior de la línea de respuesta es incorrecta.

Que bijections $f:\{1,2,3,\ldots\}\to\{1,2,3,\ldots\}$ tienen la propiedad de que para cada secuencia $\{a_n\}_{n=1}^\infty$, $$ \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n a_n = \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n a_{f(n)}, $$ donde "$=$" se interpretará en el sentido de que si el límite existe, entonces lo hace el otro y en ese caso, entonces son iguales?

He aquí otra erupción de la estimación inicial, diferente de la que he publicado en stackexchange: Es el bijections que cada órbita es finito.

(Que hay una cantidad no numerable de tales bijections puede ser visto de la siguiente manera: Para cada número impar $n$, vamos a $f$ solucionar $n$ e $n+1$ o intercambio. Que bijection nunca cambia los valores de las sumas. Es un countably secuencia infinita de elecciones binarias, por lo que es incontable.)

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sickgemini Puntos 2001

Para el propósito de la grabación de una respuesta en lugar de un montón de enlaces: Michael Hardy se requiere que

si el límite existe, entonces lo hace el otro y en ese caso, entonces son iguales?

Vamos a llamar a este conjunto de $G$.

Levi respondió un poco diferente de la pregunta, a saber, la caracterización de las permutaciones para que

si la mano izquierda el límite existe, entonces también lo hace la derecha, y en ese caso, entonces son iguales?

Voy a llamar a ese $P$. Claramente, $G = P \cap P^{-1}$.

Teorema de Una permutación $f$ es de $P$ si y sólo si existe una constante $M$ tal que, para cualquier $N$, la $f([1,N])$ puede ser escrito como $\bigcup_{i=1}^M [a_i, b_i]$ donde $[a,b] = \{ a,a+1, \ldots, b \}$.

Levi siempre una diferente caracterización de este; Agnew siempre esta caracterización; aprendí acerca de Schaefer, quien señala que son bastante directamente equivalente.

Pleasants muestra que $P$ no es cerrado bajo de inversión. No he (en una hora descremada) encontrado en cualquiera de los documentos que dan una sencilla caracterización de $P \cap P^{-1}$ que la definición de la fórmula.

Comentario me sería más agradable para reafirmar Levi/Agnew la caracterización de la siguiente manera: Para $S \subseteq \mathbb{N}$, definir la solidez de $S$ menos entero $\beta(S)$ tal que $S$ puede ser escrito como $\bigcup_{i=1}^{\beta(S)} [a_i, b_i]$. (Podríamos haber $\beta(S) = \infty$.) A continuación, $f$ es de $P$ si y sólo si existe una constante $M$ tal que $\beta(f(S)) \leq M \beta(S)$. Esto hace que sea más evidente que el $P$ es cerrado bajo la composición.

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