Hay muchas nociones de "exactitud", en la categoría de teoría, la geometría algebraica, etc. Aquí presento otra que generaliza la categoría de marcos, la noción de valoración (a partir de la teoría de la probabilidad), y toca aspectos de abelian categorías y la Seifert-van Kampen teorema.
Mi intención es escuchar los comentarios de la comunidad sobre
- cómo esta noción debe ser refinado y mejorado,
- otros ejemplos de campos y donde esta noción surge,
- si esta noción se adapta a un gran teoría o se extiende una teoría existente.
La idea es que una exactitud de la estructura de una categoría es un conjunto de conmutativa plazas como la de la pushout-pullbacks, y que un functor es exacta cuando se conserva el elegido plazas. En este sentido, es algo así como un "límite de croquis".
Una última nota: soy consciente de que el término "cuadrada exacta" ya existe-y yo voy a dar un ejemplo de lo que yo llamo exacto de plazas-así que, aunque creo que el nombre "cuadrada exacta" es adecuado, yo también estaría encantado de escuchar alternativas.
Deje $2=\fbox{$\bullet\a\bullet$}$ denotar la libre flecha categoría, por lo $2\times 2$ es el libre conmutativa de la plaza.
Definición: Dejar $C$ ser una categoría con un objeto inicial $\bot$. Una exactitud estructura en $C$ es un conjunto $E$ de las plazas, $e\colon 2\times 2\to C$, llama exacto de plazas
$$
\begin{array}{ccc}
A&\xrightarrow{f}&B\\
\scriptstyle g\textstyle\downarrow\;&e&\;\downarrow \scriptstyle h\\
C& \underset{i}{\to}&D
\end{array}
$$
la satisfacción de las siguientes condiciones:
- El compuesto de la proyección de $2\times 2\to 2$ y cualquier morfismos $2\to C$ ("cualquier degenerado cuadrado") es exacta;
- El compuesto de la swap mapa de $\sigma\colon 2\times 2\to 2\times 2$ y exacta de la plaza de $e\colon 2\times 2\to C$ es exacta;
- El encolamiento de cualquiera de los dos exacto de plazas en $C$ $$ \begin{array}{ccccc} \bullet&\to&\bullet&\to&\bullet\\ \downarrow&&\downarrow&&\downarrow\\ \bullet&\to&\bullet&\to&\bullet \end{array} $$ es exacto; y
- si $e\cong e'$ son isomorfos plazas, a continuación, $e$ es exacta iff $e'$ es.
Nos referimos a una categoría con una exactitud la estructura como un exigente categoría. Decimos que un functor es exigente si se conserva inicial de los objetos y exacto de plazas.
Decimos que un exigente categoría $(C, \bot, E)$ está normalizado si se tiene un objeto final y continua si se ha filtrado colimits, y de manera similar morfismos son normalizados y/o continuo si conservan estas estructuras. Vamos $\mathsf{ExCat}$, $\mathsf{CtsExCat}$, $\mathsf{NrmExCat}$, y $\mathsf{NrmCtsExCat}$ denotar las diversas combinaciones de estos adjetivos.
Ejemplo: Si $C$ es un abelian categoría, entonces se puede dar la estructura de una normalizado exigente categoría. El elemento superior es 0, y una plaza de
$$
\begin{array}{ccc}
A&\xrightarrow{f}&B\\
\scriptstyle g\textstyle\downarrow\;&&\;\downarrow \scriptstyle h\\
C& \xrightarrow{i}&D
\end{array}
$$
es exacto en el presente sentido iff la secuencia
$$0\to A\xrightarrow{(f,g)}B\oplus C\xrightarrow{h-i}D\to 0$$
es exacto en el sentido de los complejos de la cadena.
Ejemplo: La clásica de Seifert-van Kampen es el teorema de la declaración de que el grupo fundamental de la functor $\pi_1\colon\mathsf{Top}\to\mathsf{Grp}$ de espacios topológicos para grupos es exacta si nos elija el exacta plazas en $\mathsf{Top}$ a ser pushout-pullback plazas con simplemente conectado retroceso, y aquellos en $\mathsf{Grp}$ a ser el pushout plazas.
Ejemplo: La categoría de $\mathsf{Cat}$ de las categorías puede ser, dada la estructura de un (normalizada continua) exigente categoría, donde una plaza
$$
\begin{array}{ccc}
A&\xrightarrow{f}&B\\
\scriptstyle g\textstyle\downarrow\;&&\;\downarrow \scriptstyle h\\
C& \xrightarrow{i}&D
\end{array}
$$
se llama exacta si es exacta en el sentido de la nlab, es decir, si $g_!f^*=i^*h_!$ como functors $\mathsf{Psh}(B)\to\mathsf{Psh}(C)$.
Ejemplo: Un marco (un.k.una. una configuración regional), por ejemplo, el poset de bloques abiertos en cualquier espacio topológico, tiene un continuo, normalizada la exactitud de la estructura. Puede ser considerado como una categoría de la forma habitual, su superior / inferior de los elementos de servir como inicial / final objetos, y decimos que un cuadrado es exacta si es tanto un retroceso y un pushout:
$$
\begin{array}{ccc}
A\cap B&\to&A\\
\downarrow&&\downarrow\\
B& \to&A\cup B
\end{array}
$$
Este es un completo y fiel de la incrustación de $\mathsf{Frm}\to\mathsf{NrmCtsExCat}$. De hecho, cualquier monotonía mapa entre el subyacente posets de fotogramas $F$ e $F'$ que conserva parte superior e inferior de los elementos de filtrado y colimits (dirigida sup), es un mapa de tramas iff conserva binario cumple y binario une. Pero este es el caso de la fib conserva exacto de plazas. [De hecho, el functor $\mathsf{Frm}\to\mathsf{CtsExCat}$ también es completamente fiel.]
Ejemplo: El poset $\mathbb{R}^+:=\{r\in\mathbb{R}\mid 0\leq r\}\cup\{\infty\}$ de los números reales no negativos infinito más bajo que el habitual $\leq$ pedidos pueden ser dada normalizado continua de la exactitud de la estructura en la que un cuadrado
$$
\begin{array}{ccc}
m&\to&n\\
\downarrow&&\downarrow\\
m'& \to&n'
\end{array}
$$
es exacto iff $m+n'=m'+n$.
Nota: Si $(C,\bot,E)$ es un (continua) exigente categoría y $c\in C$ es un objeto, entonces la división de la categoría $C_{/c}$ hereda un (continua) la exacción de la estructura. Deje $U\colon C_{/c}\to C$ ser el olvidadizo functor. A continuación, $C_{/c}$ hereda un objeto inicial y filtrada colimits de $C$, y tomamos un cuadrado de $e$ a ser exigente en $C_{/c}$ fib $U(e)$ es exigente en la $C$.
Las valoraciones son un enfoque constructivo a la teoría de la probabilidad, lo cual está de acuerdo con la habitual prueba de Kolmogorov definición en niza de los casos. No utilice $\sigma$-álgebras sino que se define en los fotogramas. Aquí le damos la definición habitual, excepto con el presente de la terminología. Tenga en cuenta que $\mathbb{R}^+_{/1}$ tiene como objeto el intervalo cerrado $[0,1]$.
Definición: Dejar $F$ ser un fotograma. Una valoración en $F$ es una exigencia functor $\mu\colon F\to\mathbb{R}^+_{/1}$. Se llama normalizado y/o continuo si se normaliza y/o continuo, como una exigencia functor.
En otras palabras, nuestra terminología "normalizado" y "continua" fue el elegido para que coincida con el de las valoraciones. La definición anterior sitúa a las valoraciones en un contexto mucho más amplio.
La proposición: toda la izquierda-functor exacto conserva la exigente categoría de objetos y exigente functors, normalizado o no. Por otra parte, la imagen directa de parte de un geométrica de morfismos conserva continua exigentes posets, tales como marcos y el no negativo menor de reales como se describió anteriormente.
De nuevo, mi pregunta es "¿cómo será la comunidad responder"? En otras palabras, estoy en busca de ideas sobre esta noción, cómo encaja con otras nociones no he discutido anteriormente, otros ejemplos de la misma, si ya existe, si existen requisitos adicionales que se debe hacer, etc.
Gracias!
