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Otra noción de exactitud: ¿cómo refinarlo y dónde encaja?

Hay muchas nociones de "exactitud", en la categoría de teoría, la geometría algebraica, etc. Aquí presento otra que generaliza la categoría de marcos, la noción de valoración (a partir de la teoría de la probabilidad), y toca aspectos de abelian categorías y la Seifert-van Kampen teorema.

Mi intención es escuchar los comentarios de la comunidad sobre

  • cómo esta noción debe ser refinado y mejorado,
  • otros ejemplos de campos y donde esta noción surge,
  • si esta noción se adapta a un gran teoría o se extiende una teoría existente.

La idea es que una exactitud de la estructura de una categoría es un conjunto de conmutativa plazas como la de la pushout-pullbacks, y que un functor es exacta cuando se conserva el elegido plazas. En este sentido, es algo así como un "límite de croquis".

Una última nota: soy consciente de que el término "cuadrada exacta" ya existe-y yo voy a dar un ejemplo de lo que yo llamo exacto de plazas-así que, aunque creo que el nombre "cuadrada exacta" es adecuado, yo también estaría encantado de escuchar alternativas.


Deje $2=\fbox{$\bullet\a\bullet$}$ denotar la libre flecha categoría, por lo $2\times 2$ es el libre conmutativa de la plaza.

Definición: Dejar $C$ ser una categoría con un objeto inicial $\bot$. Una exactitud estructura en $C$ es un conjunto $E$ de las plazas, $e\colon 2\times 2\to C$, llama exacto de plazas $$ \begin{array}{ccc} A&\xrightarrow{f}&B\\ \scriptstyle g\textstyle\downarrow\;&e&\;\downarrow \scriptstyle h\\ C& \underset{i}{\to}&D \end{array} $$ la satisfacción de las siguientes condiciones:

  1. El compuesto de la proyección de $2\times 2\to 2$ y cualquier morfismos $2\to C$ ("cualquier degenerado cuadrado") es exacta;
  2. El compuesto de la swap mapa de $\sigma\colon 2\times 2\to 2\times 2$ y exacta de la plaza de $e\colon 2\times 2\to C$ es exacta;
  3. El encolamiento de cualquiera de los dos exacto de plazas en $C$ $$ \begin{array}{ccccc} \bullet&\to&\bullet&\to&\bullet\\ \downarrow&&\downarrow&&\downarrow\\ \bullet&\to&\bullet&\to&\bullet \end{array} $$ es exacto; y
  4. si $e\cong e'$ son isomorfos plazas, a continuación, $e$ es exacta iff $e'$ es.

Nos referimos a una categoría con una exactitud la estructura como un exigente categoría. Decimos que un functor es exigente si se conserva inicial de los objetos y exacto de plazas.

Decimos que un exigente categoría $(C, \bot, E)$ está normalizado si se tiene un objeto final y continua si se ha filtrado colimits, y de manera similar morfismos son normalizados y/o continuo si conservan estas estructuras. Vamos $\mathsf{ExCat}$, $\mathsf{CtsExCat}$, $\mathsf{NrmExCat}$, y $\mathsf{NrmCtsExCat}$ denotar las diversas combinaciones de estos adjetivos.

Ejemplo: Si $C$ es un abelian categoría, entonces se puede dar la estructura de una normalizado exigente categoría. El elemento superior es 0, y una plaza de $$ \begin{array}{ccc} A&\xrightarrow{f}&B\\ \scriptstyle g\textstyle\downarrow\;&&\;\downarrow \scriptstyle h\\ C& \xrightarrow{i}&D \end{array} $$ es exacto en el presente sentido iff la secuencia $$0\to A\xrightarrow{(f,g)}B\oplus C\xrightarrow{h-i}D\to 0$$ es exacto en el sentido de los complejos de la cadena.

Ejemplo: La clásica de Seifert-van Kampen es el teorema de la declaración de que el grupo fundamental de la functor $\pi_1\colon\mathsf{Top}\to\mathsf{Grp}$ de espacios topológicos para grupos es exacta si nos elija el exacta plazas en $\mathsf{Top}$ a ser pushout-pullback plazas con simplemente conectado retroceso, y aquellos en $\mathsf{Grp}$ a ser el pushout plazas.

Ejemplo: La categoría de $\mathsf{Cat}$ de las categorías puede ser, dada la estructura de un (normalizada continua) exigente categoría, donde una plaza $$ \begin{array}{ccc} A&\xrightarrow{f}&B\\ \scriptstyle g\textstyle\downarrow\;&&\;\downarrow \scriptstyle h\\ C& \xrightarrow{i}&D \end{array} $$ se llama exacta si es exacta en el sentido de la nlab, es decir, si $g_!f^*=i^*h_!$ como functors $\mathsf{Psh}(B)\to\mathsf{Psh}(C)$.

Ejemplo: Un marco (un.k.una. una configuración regional), por ejemplo, el poset de bloques abiertos en cualquier espacio topológico, tiene un continuo, normalizada la exactitud de la estructura. Puede ser considerado como una categoría de la forma habitual, su superior / inferior de los elementos de servir como inicial / final objetos, y decimos que un cuadrado es exacta si es tanto un retroceso y un pushout: $$ \begin{array}{ccc} A\cap B&\to&A\\ \downarrow&&\downarrow\\ B& \to&A\cup B \end{array} $$ Este es un completo y fiel de la incrustación de $\mathsf{Frm}\to\mathsf{NrmCtsExCat}$. De hecho, cualquier monotonía mapa entre el subyacente posets de fotogramas $F$ e $F'$ que conserva parte superior e inferior de los elementos de filtrado y colimits (dirigida sup), es un mapa de tramas iff conserva binario cumple y binario une. Pero este es el caso de la fib conserva exacto de plazas. [De hecho, el functor $\mathsf{Frm}\to\mathsf{CtsExCat}$ también es completamente fiel.]

Ejemplo: El poset $\mathbb{R}^+:=\{r\in\mathbb{R}\mid 0\leq r\}\cup\{\infty\}$ de los números reales no negativos infinito más bajo que el habitual $\leq$ pedidos pueden ser dada normalizado continua de la exactitud de la estructura en la que un cuadrado $$ \begin{array}{ccc} m&\to&n\\ \downarrow&&\downarrow\\ m'& \to&n' \end{array} $$ es exacto iff $m+n'=m'+n$.

Nota: Si $(C,\bot,E)$ es un (continua) exigente categoría y $c\in C$ es un objeto, entonces la división de la categoría $C_{/c}$ hereda un (continua) la exacción de la estructura. Deje $U\colon C_{/c}\to C$ ser el olvidadizo functor. A continuación, $C_{/c}$ hereda un objeto inicial y filtrada colimits de $C$, y tomamos un cuadrado de $e$ a ser exigente en $C_{/c}$ fib $U(e)$ es exigente en la $C$.

Las valoraciones son un enfoque constructivo a la teoría de la probabilidad, lo cual está de acuerdo con la habitual prueba de Kolmogorov definición en niza de los casos. No utilice $\sigma$-álgebras sino que se define en los fotogramas. Aquí le damos la definición habitual, excepto con el presente de la terminología. Tenga en cuenta que $\mathbb{R}^+_{/1}$ tiene como objeto el intervalo cerrado $[0,1]$.

Definición: Dejar $F$ ser un fotograma. Una valoración en $F$ es una exigencia functor $\mu\colon F\to\mathbb{R}^+_{/1}$. Se llama normalizado y/o continuo si se normaliza y/o continuo, como una exigencia functor.

En otras palabras, nuestra terminología "normalizado" y "continua" fue el elegido para que coincida con el de las valoraciones. La definición anterior sitúa a las valoraciones en un contexto mucho más amplio.

La proposición: toda la izquierda-functor exacto conserva la exigente categoría de objetos y exigente functors, normalizado o no. Por otra parte, la imagen directa de parte de un geométrica de morfismos conserva continua exigentes posets, tales como marcos y el no negativo menor de reales como se describió anteriormente.


De nuevo, mi pregunta es "¿cómo será la comunidad responder"? En otras palabras, estoy en busca de ideas sobre esta noción, cómo encaja con otras nociones no he discutido anteriormente, otros ejemplos de la misma, si ya existe, si existen requisitos adicionales que se debe hacer, etc.

Gracias!

11voto

Mat Puntos 99

Me gustaría argumentar que la definición actual es demasiado mínimo para permitir que durante gran parte de la teoría del desarrollo, ya que la única sustancial axioma es el de pegar condición. En particular, sería posible tomar todos los conmutativa cuadrados en una categoría dada, para ser exactos plazas, lo cual puede parecer demasiado grande de una clase. Así, uno podría esperar que necesita alguna condición que limita el tamaño de una exactitud la estructura.

Sobre el potencial de los axiomas, quiero proponer la 2-de-3 propiedad:

2-de-3 propiedad: Si un compuesto de dos cuadrados es exacta y también uno de los originales de los cuadrados, entonces también lo es el otro.

Voy a demostrar que se mantiene en los ejemplos de los cuadros y en el ejemplo de abelian categorías. No he pensado acerca de si se mantiene en el resto de los ejemplos todavía.


Marcos, modular redes: El marco de ejemplo no utiliza el infinitary la distributividad, que es característica de marcos: David de la definición de la exactitud de la estructura en marcos se aplica a todas las celosías. No es difícil para la construcción de celosías en el que el 2-de-3 propiedad de David exactitud la estructura de la falla. Pero hay una gran clase de celosías con importancia para el álgebra homológica en que es cierto:

Proposición: En un modular de celosía, la de arriba 2-out-of-3 posee propiedad.

Ya que cada fotograma es una celosía distributivo y, por tanto, modular, esto cubre el caso de marcos así.

Prueba. Por la dualidad, es suficiente para demostrar que si tenemos un diagrama de

$\require{AMScd}$

\begin{CD} x \land y @>>> y @>>> z \\ @VVV @VVV @VVV \\ x @>>> x\lor y @>>> x \lor z \end{CD} con $x\land y = x \land z$, entonces también se $y = (x \lor y) \land z$, por lo que la plaza es también un pullback. (Es automáticamente un pushout por el pushout lema.)

De hecho, por la modularidad, tenemos $$ (x\lor y) \tierra z = y\lor (x\tierra z) = y\lor (x\de la tierra y) = y, $$ como iba a ser mostrado.


Abelian categorías: Aquí, David definición exacta de la plaza es equivalente a decir que un cuadrado es exacta si y sólo si es un retroceso y un pushout.

La proposición: La exactitud de la estructura de un abelian categoría satisface la 2-de-3 propiedad.

Prueba. Por Mitchell Incrustación Teorema, podemos razonar en términos de diagrama de perseguir con módulos sobre un anillo. De nuevo por la dualidad, es suficiente para mostrar una dirección: si

\begin{CD} A @>f>> B @>g>> C \\ @VhVV @ViVV @VjVV \\ D @>k>> E @>l>> F \end{CD}

es que la izquierda de la plaza y el compuesto de la plaza son exactas, entonces también lo es el derecho de la plaza. De nuevo por el pushout lema, que solo tenemos que mostrar que el derecho de la plaza es un retroceso. Por lo tanto, vamos a $c\in C$ e $e\in E$ ser elementos que $j(c) = l(e)$. Tenemos que mostrar que no hay una única $b\in B$ con $e = i(b)$ e $c = g(b)$. La unicidad, es suficiente para considerar el caso de $c = e = 0$. A continuación, desde la izquierda, la plaza es un retroceso, tenemos $a\in A$ con $b = f(a)$ e $h(a) = 0$. Pero desde $g(f(a)) = g(b) = 0$, la suposición de que el compuesto de la plaza es un pullback como bien implica la $a = 0$, como iba a ser mostrado.

Para la existencia, empezamos con $c$ e $e$ anterior. Desde la izquierda de la plaza es un pushout, podemos encontrar $b_1\in B$ e $d\in D$ tal que $e = i(b_1) + k(d)$. Entonces tenemos $$ l(k(d) = l(e) - l(i(b_1)) = j(c - g(b_1)). $$ Dado que el compuesto de la plaza es un retroceso, obtenemos $a\in A$ con $d = h(a)$ e $c - g(b_1) = g(f(a))$. Así que con $b_2 := f(a)$, tomamos $b := b_1 + b_2$, lo que resulta en $$ g(b) = g(b_1) + g(b_2) = c $$ y $$ i(b) = i(b_1) + i(b_2) = (e - k(d)) + i(f(a)) = e - k(d) + k(h(a)) = e, $$ como iba a ser mostrado.


Addendum: Otra fuente de exactitud estructuras es dada por los sistemas de bicoverings, como en la Definición 4.2.1 de Compositories y Gleaves. También tiró de la estabilidad en pullbacks, y estábamos trabajando con cospans sólo, o, equivalentemente, con la retirada de los cuadros.

4voto

Leon Bambrick Puntos 10886

Si estaban dispuestos a permitir una generalización donde "exactas" se estructura en un cuadrado en lugar de una propiedad de ella, no sería un ejemplo en el homotopy categoría de un establo $\infty$-categoría (o estable derivator), donde una "estructura exacta" en un (homotopy) conmutativa de la plaza es una opción de homotopy llenado y convirtiéndolo en un pushout+retroceso de la plaza.

Del mismo modo, puede poner una "prueba pertinentes" exactitud de la estructura de Ho(Cat) , donde una estructura exacta en un conmutativa-up-to-isomorfismo de la plaza es una opción de isomorfismo de llenado y convirtiéndolo en una cuadrada exacta en el sentido de que su ejemplo de arriba. Si más relajado que el requisito de que exacto de plazas tienen que viajar todos los días, podría permitir a no es invertible transformaciones con la misma exactitud de la propiedad.

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