¿Cuál es el estado de esta conjetura sobre progresiones aritméticas de números primos?

Question

El Green-Tao teorema dice que para cada $n$, no es una progresión aritmética de longitud $n$ que consta de los números primos.

Para los números primos, $p$, vamos a $P(p)$ ser la longitud máxima de una progresión aritmética de números primos cuya menos elemento es $p$.

Se sabe si $P(p)=p$ para cada primo?

(Esto claramente se generaliza el Green-Tao teorema, afirmando que las largas filas se muestran "tan pronto como sea posible." Tenga en cuenta que $P(p) \leq p$ viendo la progresión de mod $p$.)

Answer 1

Sí, este es desconocida; es aún desconocido (como GH de MO sospecha en un comentario) si $P(p) \ge 3$ siempre. Una declaración equivalente a $P(p) \ge 3$ es que existe un entero $x>0$ tales $p+x$ e $p+2x$ son ambos primos. Este es un twin-primer-como problema: nadie ha demostrado una declaración diciendo que dos fijos lineal de los polinomios $ax+b$ e $cx+d$ son infinitamente a menudo simultáneamente prime, o incluso que, en general, debe ser simultáneamente primer vez. (El Green-Tao teorema convierte en toda una declaración acerca lineal de los polinomios $x,x+d,x+2d,...$ en dos variables $x$ e $d$; cuando nos fix $p$ aquí sólo tenemos una variable.)

Por otro lado, el primer $k$-tuplas conjetura implica que las $P(p)=p$ por cada prime $p$: los correspondientes polinomios se $p+x,\dots,p+(p-1)x$, y de estos polinomios forma admisible de conjunto (su producto no es idéntica a cero modulo cualquier prime).