Definir el modelo estándar de la PA, de modo que un alienígena podría entender

Question

Primero, un poco de contexto. En uno de los comentarios a una respuesta a la reciente pregunta ¿por Qué no adoptar el constructibility axioma V=L? Se me ordenó unos papeles de Nik Weaver en este enlace, en el conceptualismo. Muchas de las ideas de esos papeles que me gustan, especialmente la idea de (poner en mis propias palabras, pero espero que precisa) que el poder conjunto de los números naturales es un trabajo en progreso y no un formulario de infinito como $\mathbb{N}$.

En algunos de esos papeles que la idea de un supertask que se utiliza para argumentar la existencia de los números naturales. Uno podría pensar en realizar una supertask como la construcción de una máquina que hace un infinito de cálculo en una cantidad finita de tiempo y el espacio, es decir, haciendo la $n$th paso y, a continuación, la construcción de una máquina de la mitad del tamaño que va a trabajar el doble de rápido para hacer la $(n+1)$th paso y también recurse. (Vamos a suponer que el concepto de un supertask máquina no es razonable, aunque creo que este punto puede ser definitivamente argumentó.)

La forma en que me estoy imaginando una máquina es que sería un $\Sigma_1$ oracle, capaz de responder a ciertas preguntas acerca de los números naturales. Supongo que también tendría máquinas que hacen "super-supertasks", y así sucesivamente, dando orden superior oráculos.

Para ayudar a motivar a mi pregunta, supongamos que los seres del espacio exterior vino a la tierra y nos enseñó cómo construir esas máquinas. Supongo que algunos de nosotros empezar a comprobar la validez de nuestro trabajo, tal y como aparece en la literatura. Otras personas que acudirían a las grandes preguntas: P vs NP, RH, Goldbach, doble de los números primos. Con suficientes iteraciones de "super" se podría incluso utilizar las máquinas para empezar a escribir nuestras pruebas para nosotros. Algunos podrían dejar de molestar.

Otros quieren hacer un control de calidad para comprobar que las máquinas estaban funcionando según lo previsto. Supongamos que la máquina produjo: "Con(PA) es falsa." Nos gustaría ir a nuestro espacio extraterrestre amigos y decir, "Algo está mal. Las máquinas decir que el PA no es coherente." Los alienígenas responder, "sólo están diciendo que Con(PA) es falsa."

Comenzamos a experimentar y descubrir que las máquinas también nos dicen que la menor prueba de que "Con(PA) es falsa" es más grande que la de BB(1000). Es más grande que la de BB(BB(BB(1000))), y así sucesivamente. Por lo tanto, no habría ninguna esperanza de que podemos comprobar con la mano (o incluso darse cuenta de en nuestro propio universo con los átomos), una prueba de que $0=1$.

Una posibilidad sería que las máquinas no estaban funcionando como se pretendía. Otra posibilidad, que podríamos simplemente nunca descartar (pero podría tal vez compruebe a satisfacción nuestra, si hemos tenido acceso a muchos más átomos de carbono), es que estas máquinas fueron dando evidencia de que la PA es inconsistente. Pero una tercera posibilidad sería que estaban haciendo supertasks en un modelo no estándar de PA. Entonces tendríamos la opción de definir los números naturales como las cosas son "contados" por estos supertask máquinas. Y, en efecto, supongamos que nuestro alien amigos que hizo, sus números naturales fueron las expresadas por el supertask máquinas. Desde nuestro punto de vista, con los modelos estándar en mente, podríamos decir que estas "extra" de números naturales que las máquinas tenían que pasar a través de la orden de acabar con sus cálculos, algo vagamente similar a los extra dimensiones compactas que muchas versiones de la teoría de cuerdas postulan. Pero a partir de que los extraterrestres perspectiva, estos números no fueron extra--eran igual de real que la realidad como la (muy) pequeños números que encontramos en la vida cotidiana.

Así que, aquí (por fin!) vienen mis preguntas.

Pregunta 1: ¿Cómo podemos comunicar a estos alienígenas a lo que nos referimos, precisamente, por "el modelo"?

La única manera que conozco para definir el modelo estándar es a través de segundo orden de la cuantificación a través de subconjuntos. Pero sabemos que el axioma de que el juego de poder que genera todo tipo de diferentes modelos de la teoría de conjuntos. ¿Este hecho afecta a la afirmación de que el modelo estándar es "único"? Más al punto:

Pregunta 2: Para afirmar la existencia de un "modelo estándar" tenemos que ir más allá de asumir PA (y Con(PA)). Es que adicional de la parte de verdad que se puede expresar?

Answer 1

Estas son preguntas fundamentales. Sabemos que cualquier computable conjunto de axiomas que se tiene de los números naturales debe también tiene modelos no estándar. Pero, parafraseando a Hilary Putnam, si los axiomas no puede capturar la "idea intuitiva de un número natural", lo que posiblemente podría?

Como yo lo veo, hay dos posiciones posibles en este. Una de ellas es que sabemos lo que los números naturales son, y el hecho de que los axiomas no la captura de ellos presenta alguna limitación en el sistema axiomático, no en el concepto de número en sí. La otra es que nuestra incapacidad para la captura de los números naturales axiomáticamente muestra que realmente no tienen una clara concepción de ellos.

Yo tengo el primer punto de vista, pero tengo que admitir que la segunda tiene su atractivo. Preguntándose cómo se podría comunicar la idea de un modelo estándar para los extranjeros trae a casa a la dificultad de afirmar que tenemos una clara concepción de algo, mientras que admitir que somos incapaces de comunicarse es a través del lenguaje (en particular, los axiomas).

Esto conduce a profundas cuestiones filosóficas acerca de cómo podemos comunicar algo a través del lenguaje. Cf. Wittgenstein del "lenguaje privado" argumento y sus ideas acerca de la regla siguiente.

Aquí están algunas cosas que me gustaría decir en defensa de la opinión de que nuestra concepción de la $\mathbb{N}$ realmente es definitivo, a pesar del hecho de que no podemos capturar con (de primer orden) axiomas:

1. El escepticismo acerca de los números naturales puede ser intensificado. ¿Qué le dirías a alguien que niega que tengamos una clara concepción de la $10^{100}$? Hay gente seria que diría que no. Francamente, creo que tengo una visión más clara de la concepción de $\mathbb{N}$ de de $10^{100}$.

2. Mi sensación es que todo el mundo acepta que nuestra concepción de los números naturales es definitivo hasta que aprenda los teoremas de la incompletitud, pero algunas personas están tan impresionados por estos resultados que abandonar la idea de que aún es en definitiva un conjunto de números naturales. Pero Wittgenstein la regla de la siguiente paradoja muestra que incluso los axiomas pueden carecer del carácter definido que le atribuimos a ellos. Así que ¿por qué hemos de tomar como el final de todo?

3. Tomando la opinión de que cualquier cosa significativa es capturado por los axiomas, y por lo tanto que $\mathbb{N}$ es de carácter indefinido, tiene algunas consecuencias desagradables. Dicen que tomar la opinión de que no es distinguido "estándar" modelo de PA: todo lo que importa es lo que puede ser demostrado a partir de los axiomas de Peano. Entonces usted tiene que aceptar que "lo que puede ser demostrado a partir de los axiomas de Peano" sí es indefinido. Debido a que la duración de una prueba válida en el PA es un número natural, por lo que si no sabemos lo que los números naturales son luego no sabemos cuáles son las posibles longitudes de pruebas. No podría ser "pruebas en el PA" que son válidos en una versión de $\mathbb{N}$ pero no en otro. Realmente se puede tragar esto?

4. Creo que el argumento más fuerte en favor de la determinación de $\mathbb{N}$, y en contra de la idea de que el PA, o cualquier otro axiomatization, es el final de todo, es el hecho evidente de que tenemos un final abierto capacidad de ir más allá de cualquier computable conjunto de axiomas, por ejemplo, la afirmación de su consistencia. Si usted acepta PA que se debe aceptar Con(PA), y el proceso no se detiene ahí: a continuación, puede aceptar Con(PA + Con(PA)), y así sucesivamente. Esto va a transfinito niveles. Si nuestra comprensión de $\mathbb{N}$ realmente eran totalmente capturado por un determinado conjunto de axiomas, a continuación, no nos sentiríamos teníamos derecho a fortalecer los axiomas de una manera especial; el hecho de que nos hacen sentir que tenemos este derecho muestra de que nuestra comprensión es no capturado por un determinado conjunto de axiomas.

Este es mi punto de vista.

Answer 2

Aquí en el reino de la ficción matemática....

Me imagino que los extranjeros que no tienen el número natural que llamamos 13. También carecen de 41 y 1681 y muchos otros números. Ellos no tienen el sucesor o adición de funciones.

En lugar de...de ellos consideran que la multiplicación y la comparación de la fundamental. Ellos no saben cómo agregar posibilidades, pero no saben cómo multiplicar y comparar entre ellos. Rara vez recuento, pero tienen un buen ojo para cuando un rectángulo es más grande que otro. Por lo que a menudo arreglar las cosas en rectángulos, y lo consideran como el deber profesional de los panaderos para vender productos de 3x4 cajas.

En lugar de la aritmética de Peano, estos seres han de primer orden de la teoría en el lenguaje de $(1,\cdot,<)$. Su $<$ tiene las mismas propiedades como el nuestro; su $\cdot$ tiene las mismas propiedades universales como la nuestra; y su $<$ e $\cdot$ son compatibles.

Ellos creen en el número de $2$, es decir, el número único de $x$ tales que $$1<x \wedge \neg \exists z\, (1<z<x)$$ Del mismo modo que ellos creen en los números de $3$ e $7$, e $12=2\cdot 2\cdot 3$ e $14=2\cdot 7$. Pero se puede detectar una brecha entre la $12$ e $14$porque $$\exists k\, \exists x\, (12 x < k x < 14 x) \wedge \nexists k\, (12 < k < 14)$$

Su inducción toma la forma $$P(1) \wedge \forall x(\forall y(y<x \rightarrow P(y))\rightarrow P(x)) \rightarrow \forall x(P(x))$$

Se puede definir $x+y=z$ algo así como nuestra fórmula $$S(xz)S(yz)=S(zzS(xy))$$ pero este no juega un gran papel en su aritmética.

Por último, se observa una incrustación de sus números naturales en la nuestra, únicamente se fija por el deseo de preservar $\cdot$ e $<$. Pero si ellos creen que no hay ningún número en la entre $12$ e $14$, y han vivido felizmente sin ninguna necesidad, ¿qué decir?

Mientras tanto, aquí en Nueva York...aprendí a contar a partir de los números en un ascensor en el edificio de apartamentos, y no había piso 13.

Answer 3

La respuesta a esta pregunta depende de cómo escéptico que usted desea ser.

Vamos a considerar una simple tarea. Podemos comunicarse a los alienígenas que lo que queremos decir por "3"? Es posible imaginar un escenario en el que no somos capaces de hacer esto. Imaginemos por ejemplo, que los alienígenas no se parecen a los seres humanos y no se comunican mediante un lenguaje humano, sino que se asemejan a las hormigas. Podemos imaginar tratando de capacitar a los extranjeros a entender "3" si somos capaces de identificar algo que ellos desean (alimentos, por ejemplo) y la colocación de los alimentos en el interior de cajas marcadas con 3 copias del mismo símbolo, dejando a otras cajas vacías. Después de un tiempo suficientemente largo periodo de formación, que podría llegar a estar convencido de que el extranjero hormigas han dominado lo que queremos decir por "3", pero ¿cómo podríamos estar seguros? Es muy posible que la próxima vez que ponemos 3 símbolos en una caja, que podría confundirse. Tal vez hacemos uso de un nuevo tipo de símbolo que tienen problemas en el análisis. O tal vez utilizamos exactamente el mismo tipo de símbolo, como en el pasado, pero resulta que el concepto que han aprendido de nosotros es, cuando se traduce a nuestro idioma, algo así como "3 actualmente no hay sicigias de tres planetas, y 4, si los hay, actualmente, una de sicigias de tres planetas" (cf. Goodman grue paradoja). En principio podríamos detectar una cosa si nuestro período de formación fueron lo suficientemente largo, pero aún así podríamos estar seguro de si alguna otra cláusula de "ocultar" allí, que se manifiesta incluso más raramente que planetarios syzygies hacer.

Si "3" no puede ser comunicada, entonces, ciertamente, algo infinito como los números naturales no puede ser comunicada. Pero supongamos que conceder que, de alguna manera, "3" puede ser comunicado. Podemos comunicar el modelo estándar de la PA en contraposición a algunos no estándar del modelo de PA?

Mi opinión es que es un muy peculiar tipo de escepticismo que se refiere a modelos no estándar de PA como plantea un problema particular para tareas de comunicación. Un modelo no estándar de PA es, por cualquier tipo de medida, una más complicado concepto que el modelo estándar de la PA. Para empezar, ¿qué significa por PA? PA contiene un esquema de inducción. Comunicar lo que queremos decir con la inducción de esquemas para la PA no es más fácil que la comunicación de lo que el modelo estándar es. Si usted piensa que hay una dificultad de distinción entre la PA y no estándar de los modelos de PA, entonces ¿cómo explicar a alguien que cuando usted dice "PA" te refieres a que la inducción esquema de rangos de fórmulas cuya duración es de un estándar de número natural en contraposición a las fórmulas que se nonstandardly tiempo?

Para estar seguro, usted es libre para ser escéptico de que somos capaces de comunicar lo que queremos decir por PA. Pero este tipo de problema de comunicación es más fundamental que la dificultad de comunicar la diferencia entre un estándar y no estándar del modelo de PA, ya que este último debe, al menos, presupone que sabemos lo que es PA.

Otra forma de ver que la ap es un arenque rojo es reemplazar PA con la aritmética de Robinson P. Podemos comunicar a los alienígenas que la distinción entre un estándar y no estándar del modelo de Q? La misma dificultad con el infinito surge; detalles acerca de los PA son irrelevantes.

Se trata de una cuestión de si creemos que podemos comunicar algo infinito, y si es así, ¿por qué es que pensamos que podemos hacerlo. Detalles técnicos acerca de la lógica y la aritmética son una distracción.

Answer 4

Re: pregunta 1, hay un sentido preciso en que esta tarea es imposible, pero podemos posiblemente obtener una "dinámica de aproximación."

La primera respuesta negativa. Desde la lógica de primer orden no es suficiente, un caso puede ser hecho (que yo estaría de acuerdo con por cierto) que no hay manera satisfactoria para transmitir este mensaje. Un resultado relevante de este principio general es Lindstrom del teorema, que intuitivamente dice que cualquier lógica más fuerte que la lógica de primer orden debe ser fundamentalmente "infinitary," en virtud de no tener un finitary prueba del sistema o por la virtud de tener en cuenta multitud de estructuras, incluso en el nivel más básico.

Ahora la respuesta positiva. Aunque prima facie se trata de un recurso de apelación a un gran fragmento del conjunto teórico universo, podemos pensar en el "de arriba" caracterización (= el modelo más pequeño de la PA) como una dinámica de comunicación. La idea es que cada vez que tú y yo tenemos, posiblemente, no isomorfo modelos de PA, cada uno intenta encontrar incrustaciones de nuestro propio modelo, en el otro. Si uno de nosotros se realiza correctamente y el otro no, entonces nos provisionalmente de acuerdo en que esa persona es la que mantiene el modelo estándar. Si lo logra, entonces nos provisionalmente de acuerdo en que ambos son. Y si ambos fallan, nos provisionalmente de acuerdo en que ninguno de nosotros se mantiene en el modelo estándar. Tenga en cuenta que este proceso puede ser muy fluctuante, es estable en el siguiente sentido débil: si usted está sosteniendo el modelo estándar y estoy sosteniendo un modelo no estándar, no nos posiblemente creo que mi modelo es estándar.

Por supuesto, hay una apelación a la cuantificación aquí. Es decir, la comprobación de si una supuesta inclusión es en realidad una incrustación implica un cuantificador universal. Pero en este caso estamos sólo la cuantificación de las cosas que ya tenemos; en particular, podemos hacer que el sentido perfecto de esto, incluso si ambos de nosotros son la celebración de modelos no estándar.

Así que creo que esto no es completamente tonto, aunque yo creo que es años luz de distancia de la satisfacción (y, de hecho, que la respuesta real es que no existe un método satisfactorio).

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Re: pregunta 2, ¿a qué te refieres por "expresable?"

Fácilmente podemos escribir una fórmula en el lenguaje de la teoría de conjuntos afirmar "$x$ es el menor conjunto inductivo," y en ese sentido hemos expressibility en el lenguaje de la teoría de conjuntos.

Por otro lado, esta definición es muy dependientes de modelo, con nonisomorphic modelos de la teoría de conjuntos dando potencialmente no isomorfos "más pequeño de los conjuntos inductivos." Por el teorema de compacidad, esto es inevitable siempre y cuando nos mantengamos en el ámbito de la lógica de primer orden, por lo que puede ser interpretado como una respuesta negativa.

Answer 5

Así que los extraterrestres te enseñó cómo construir un dispositivo de e interpretar sus resultados como las declaraciones sobre de primer orden de la teoría de números. Dicen que es la realización de "supertask" de cómputos, o al menos eso es lo que nos permite traducir sus demandas en inglés Científico. Pero ya que no podemos comprobar por nosotros mismos, con nuestros embotado los sentidos y limitada recuerdos, ¿cómo podemos saber que es lo que pasa?

Esta es una pregunta seria, porque la suposición de que el OP es que el dispositivo es de alguna manera la comprobación en contra de algún modelo de PA. ¿Por qué creemos que los resultados se corresponden con lo que se cumple en un modelo actual de PA? Y que modelo? Mi punto es que las razones que tenemos para creer en la fiabilidad de este infinitary equipo, o de nuestra comprensión de cómo se está trabajando, sería la clave para arrojar luz acerca de si los resultados son acerca de un estándar o no estándar del modelo de PA.

También podría darnos el vocabulario para explicar a los extranjeros lo que entendemos por "modelo estándar." Porque si no tienen ningún conocimiento de los modelos de PA, lo suficiente como para realmente "toque" de uno, entonces seguramente saben que son muchos. Así que debemos ser capaces de preguntarles por qué el equipo pistas de verdades acerca de su modelo preferido de PA y no de otro. Esto va a depender de cómo los detalles de este sci-fi de la historia se han elaborado.