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¿Por qué estas sorprendentes proportionalities de las integrales que involucran impar valores zeta?

Inspirado por el conocido $$\int_0^1\frac{\ln(1-x)\ln x}x\mathrm dx=\zeta(3)$$ and the integral given here (writing $\zeta_r:=\zeta(r)$ for easier reading)$$\int_0^1\frac{\ln^3(1-x)\ln x}x\mathrm dx=12\zeta(5)-\pi^2\zeta(3)=6(2\zeta_5-\zeta_3\zeta_2),$$ he mirado en las integrales $$I_{n,m}=:\int_0^1\frac{\ln^n(1-x)\ln^m x}x\mathrm dx$$ for $m,n\in\mathbb N$.

A partir de la energía de la serie de $\ln(1-x)$ y la recursividad, no es difícil ver que $I_{m,n}$ puede ser escrito como una combinación racional de los productos de entero de valores zeta, con los argumentos ($\ge 2$) para cada producto que se suma a $m+n+1$, por ejemplo, $$I_{n,1}=\begin{cases} -n!\Bigl(\dfrac{n-1}4\zeta_{n+2}-\dfrac12\sum\limits_{j=1}^{k-1}\zeta_{2j+1}\zeta_{n+1-2j} \Bigr)\ \ &\text{ for }n=2k\\ -n!\Bigl(\dfrac{n+1}2\zeta_{n+2}- \sum\limits_{j=1}^{k-1}\zeta_{2j+1}\zeta_{n+1-2j}\Bigr)\ \ &\text{ for }n=2k-1 \end{casos}.$$

Tan lejos, tan bueno. Ahora la intrigante (numérica) descubrimiento es que hay varias familias de pares de los integrales que han racional de los coeficientes. Por ejemplo, $$\frac{I_{n+2,n-2}}{I_{n-1,n+1}}=\frac{n+2}{n-1}\quad \text{or}\quad\frac{I_{n+1,n-1}}{I_{n,n}}=\frac{n+1}{n}\quad \text{or}\quad\frac{I_{n,2}}{I_{3,n-1}}=\frac{n}{3},$$ e.g. $$I_{5,2}=\color{red}{10}\color{blue}{(61\zeta_8-72\zeta_5\zeta_3+12\zeta_3^2\zeta_2)} $$y $$I_{3,4}=\color{red}6\color{blue}{(61\zeta_8-72\zeta_5\zeta_3+12\zeta_3^2\zeta_2)}. $$ Nota que cada par tiene la misma proporción que los respectivos primeros argumentos.
No veo cómo eso podría ser, posiblemente, demostrado por recursión, así que debe haber alguna conexión más profunda entre los integrales.

¿Cómo explicar que?

37voto

davidsandey Puntos 29

Para $n\geq 1$ e $m\geq 0$, una aplicación de integración por partes ($u=\log^n(1-x)$, $dv=\log^m(x)\,dx/x$), seguido por el de sustitución de $x\mapsto 1-x$ muestra que $$ \frac{I_{n,m}}{I_{m+1,n-1}}=\frac{n}{m+1}. $$ Todos sus ejemplos son casos especiales de esta identidad.

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