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Manera Regular para llenar un $1\times1$ cuadrado $\frac{1}{n}\times\frac{1}{n+1}$ rectángulos?

La serie $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}=1$$ sugieren que podría ser posible para el azulejo de un $1\times1$ cuadrados con nonrepeated rectángulos de la forma $\frac{1}{n}\times\frac{1}{n+1}$. Hay un conocido regular de manera de hacer esto? Sólo jugar y no tener ningún algoritmo específico, llegué tan lejos como la imagen de abajo, que sirve más para conseguir una sensación para lo que estoy buscando.

Tiling of Square with rectangles

Creo que algo de teoría sobre Egipcio fracciones de ayuda. Es bueno, por ejemplo, en el centro donde $\frac13+\frac14+\frac16+\frac14=1$. Y en el borde derecho donde $\frac12+\frac13+\frac16=1$.


Nota: La serie es de $\left(\frac11-\frac12\right)+\left(\frac12-\frac13\right)+\left(\frac13-\frac14\right)+\cdots$. La apariencia similar de $\left(\frac11-\frac12\right)+\left(\frac13-\frac14\right)+\left(\frac15-\frac16\right)+\cdots$ sumas $\ln(2)$, y no es una buena imagen para que, si se interpretan $\ln(2)$ como un área de menos de $y= \frac{1}{x}$:

Tiling of ln(2) with rectangles

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eugene y Puntos 705

Aquí está el deseado de embalaje:

Unit square packing

Deje que $\mathcal{L}=\{L_1,L_2,\ldots\}$ denotar los rectángulos debajo de la hipérbola $xy=1$, y dejar que $\mathcal{U}$ denotar aquellos por encima de la hipérbola. El índice de estos conjuntos en orden decreciente de área. Reutilizamos la construcción de $\mathcal{L}$ a partir de la publicación original.

Construimos $\mathcal{U}$ inductivamente como sigue. Suponga que $\mathcal{U}=\{U_1,U_2,\ldots,U_n\}$ se han construido. Deje de $A_{n+1}$ ser la esquina superior derecha de $L_{n+1}$, y tenga en cuenta que $A_{n+1}$ se encuentra en la hipérbola $xy=1$. Definir $U_{n+1}$ a ser el rectángulo de mayor área que cumplen las siguientes propiedades:

  • $U_{n+1}$ es disjunta de $\{U_1,U_2,\ldots,U_n\}$

  • $U_{n+1}$ tiene en la esquina inferior izquierda de $A_n$

El mosaico de $\mathcal{L}$ representa la serie $$ \left(\frac11-\frac12\right)+\left(\frac13-\frac14\right)+\left(\frac15-\frac16\right)+\cdots, $$ y el mosaico de $\mathcal{U}$ representa la serie $$ \left(\frac12-\frac13\right)+\left(\frac14-\frac15\right)+\left(\frac16-\frac17\right)+\cdots $$ Su unión $\mathcal{L}\cup \mathcal{U}$ representa la serie $$ \left(\frac11-\frac12\right)+\left(\frac12-\frac13\right)+\left(\frac13-\frac14\right)+\cdots=1. $$

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