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Son sólo los mínimos locales de $\angle(v, Av)$ los vectores propios?

Deje $A$ ser invertible $n \times n$ matriz compleja. Para $v \in \mathbb{CP}^{n-1}$, definir $$d(v) = \frac{|\langle A \tilde{v}, \tilde{v} \rangle |^2}{ \langle A \tilde{v}, A \tilde{v} \rangle \langle \tilde{v}, \tilde{v} \rangle}$$ donde $\langle \ , \ \rangle$ es el estándar de Hermitian interior del producto y de la $\tilde{v}$ es cualquier elevación de $v$ a $\mathbb{C}^n \setminus \{ 0 \}$

Por lo $d(v) \leq 1$, con la igualdad, precisamente, si $v$ es un autovector (por Cauchy-Schwarz).

Son los vectores propios de la sólo los máximos locales de $d$?

Motivación: Si esto es cierto, lo que nos puede demostrar que las matrices complejas de complejos vectores propios por una prueba análoga a la del estándar de prueba de que el real simétrica matrices tienen real vectores propios.

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Chris Puntos 1513

Gracias por esta interesante pregunta! (Mucho tiempo yo estaba esperando el contrario la respuesta.)

La verdadera motivación. Deje $V$ ser finito-dimensional $\mathbb C$-espacio lineal equipado con un positivo-definida hermitian forma $\langle-,-\rangle$. Escoge un $1$-dimensional $\mathbb C$-lineal subespacio $p\subset V$. La descomposición ortogonal $V=p\oplus p^\perp$ ofrece la natural identificación e inclusión en $$\text{T}_p{\mathbb P}_{\mathbb C}V=\text{Lin}_{\mathbb C}(p,V/p)=\text{Lin}_{\mathbb C}(p,p^\perp)\subset\text{Lin}_{\mathbb C}(L,L).$$ The rule $\langle t_1,t_2\rangle:=\text{tr}(t_1\circ t_2^*)$ defines a positive-definite hermitian form on $\text{Lin}_{\mathbb C}(L,L)$ and thus induces a hermitian structure on ${\mathbb P}_{\mathbb C}V$ known as Fubini-Study. The Fubini-Study distance is well known to satisfy the inequalities $0\le\text{dist}(p_1,p_2)\le\frac\pi2$ y la identidad $$\cos\text{dist}(p_1,p_2)=\frac{\langle p_1,p_2\rangle\langle p_2,p_1\rangle}{\langle p_1,p_1\rangle\langle p_2,p_2\rangle}=:\text{ta}(p_1,p_2)$$ (véase, por ejemplo, arXiv:0702714).

Pregunta. Son los puntos fijos de $A$ el único mínimos locales de $\text{dist}(Ap,p)$ donde $A$ es arbitraria holomorphic automorphism de ${\mathbb P}_{\mathbb C}V$ ?

Respuesta. Supongamos que un máximo local $x=p$ de % de $\text{ta}(Ax,x)$ no se fija por $A$. Tomar las adecuadas representantes de $p\in V$ e $A\in\text{GL}_{\mathbb C}V$, asumimos $\langle p,p\rangle=\langle Ap,Ap\rangle=1$ e $g:=\langle Ap,p\rangle\ge0$. Si $g=0$,, a continuación, $\langle Ax,x\rangle=0$ para todos los $x\in V$ lo suficientemente cerca de a $p$, por lo tanto, para todos los $x\in V$. Tomando un autovector $x$ de % de$A$, llegamos a una contradicción. Por eso, $0<g<1$ (debido a la hermitian forma en $V$ es positivo-definida).

Desde $\dim_{\mathbb C}p^\perp+\dim_{\mathbb C}({\mathbb C}p+{\mathbb C}Ap)>\dim_{\mathbb C}V$, existe $0\ne w\in p^\perp$ tal que $(1-gA)w\in{\mathbb C}p+{\mathbb C}Ap$. Vamos a mostrar que, para algunos $0\ne c\in{\mathbb C}$, una arbitrariamente pequeña deformación $p'=p+tcw$ de $p$, $t\in{\mathbb R}$, proporciona a $\text{dist}(Ap',p')<\text{dist}(Ap,p)$. Asumimos $\langle w,w\rangle=1$ y escribir $w-gAw=ap+bAp$ para algunos $a,b\in{\mathbb C}$. De ello se desprende que $g\langle Aw,p\rangle+a+bg=0$.

Para cualquier $v\in p^\perp$ tal que $\langle v,v\rangle=1$, podemos definir $$w_1(t):=\big\langle A(p+tv),p+tv\big\rangle\big\langle p+tv,A(p+tv)\big\rangle,$$ $$w_2(t):=\big\langle A(p+tv),A(p+tv)\big\rangle(1+t^2)$$ así que $$\text{ta}\big(A(p+tv),p+tv\big)=\frac{w_1(t)}{w_2(t)}=:\varphi(t).$$ El hecho de que $x=p$ es un máximo local de $\text{ta}(Ax,x)$ implica $\varphi'(0)=0$ e $\varphi''(0)\le0$.

Tomando derivados con respecto a $t$, obtenemos $$w'_1(t)=2\text{Re}\Big(\big(\langle Av,p+tv\rangle+\langle Ap+tAv,v\rangle\big)\langle p+tv,Ap+tAv\rangle\Big),$$ $$w'_2(t)=2\text{Re}\langle Av,Ap+tAv\rangle(1+t^2)+2\langle Ap+tAv,Ap+tAv\rangle t.$$ Por lo tanto, $$w_1(0)=g^2,\qquad w'_1(0)=2g\text{Re}\big(\langle Av,p\rangle+\langle Ap,v\rangle\big),$$ $$w''_1(0)=4g\text{Re}\langle Av,v\rangle+2\big|\langle Av,p\rangle+\langle Ap,v\rangle\big|^2,$$ $$w_2(0)=1,\qquad w'_2(0)=2\text{Re}\langle Av,Ap\rangle,\qquad w''_2(0)=2\langle Av,Av\rangle+2.$$ La condición de $\varphi'(0)=0$ es equivalente a $w'_1(0)w_2(0)-w_1(0)w'_2(0)=0$, es decir, a $2g\text{Re}\big(\langle Av,p\rangle+\langle v,Ap\rangle-g\langle Av,Ap\rangle\big)=0$. Ya que se cumple para cualquier $v\in p^\perp$, obtenemos $\langle Av,p\rangle+\langle v,Ap\rangle-g\langle Av,Ap\rangle=0$. En particular, $\langle Aw,p\rangle+ag+b=0$, por lo tanto, $g\langle Aw,p\rangle+ag^2+bg=0$. Se desprende de lo $g\langle Aw,p\rangle+a+bg=0$ que $a=0$. Por eso, $w-gAw=bAp$ e $\langle Aw,p\rangle=-b$.

La igualdad de $w'_1(0)w_2(0)-w_1(0)w'_2(0)=0$ implica $\varphi''(0)=\frac{w''_1(0)w_2(0)-w_1(0)w''_2(0)}{w_2^2(0)}$. Como $$w''_1(0)w_2(0)-w_1(0)w''_2(0)=$$ $$=4g\text{Re}\langle Av,v\rangle+2\big|\langle Av,p\rangle+\langle Ap,v\rangle\big|^2-2g^2\langle Av,Av\rangle-2g^2,$$ obtenemos $2g\text{Re}\langle Av,v\rangle+\big|\langle Av,p\rangle+\langle Ap,v\rangle\big|^2\le g^2\langle Av,Av\rangle+g^2$, es decir, $$2\text{Re}\big(\langle Av,p\rangle\langle v,Ap\rangle\big)+\big|\langle Av,p\rangle\big|^2+\big|\langle Ap,v\rangle\big|^2+1-g^2\le\langle v-gAv,v-gAv\rangle.$$ La sustitución de $v$ por $uv$ con una adecuada unitario $u\in{\mathbb C}$, $|u|=1$, obtenemos $\text{Re}\big(\langle Av,p\rangle\langle v,Ap\rangle\big)\ge0$ y a la conclusión de que $$\big|\langle Av,p\rangle\big|^2+1-g^2\le\langle v-gAv,v-gAv\rangle.$$ En particular, para $v=w$, obtenemos $|b|^2+1-g^2\le|b|^2$. Una contradicción.

Así, la respuesta es .

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