"Fractalmente auto-similares a" números

Question

Esta es otra pregunta acerca de la visualización de Ford círculos, la anterior está la Confusión con prácticamente la implementación de aproximaciones racionales. Aquí está una potencia de zoom en Ford círculos en $\frac1{\sqrt2}$

Empíricamente he encontrado que el patrón se repite periódicamente y arreglado el número de fotogramas por lo que se obtiene la impresión de un continuo infinito zoom (sin embargo, si uno observa con atención, hay un ligero salto, donde la animación se reinicia).

Lo que quiero saber es si el patrón de hecho se repite de manera rigurosa para cuadrática irracionalidades, y si para otros números irracionales el patrón en ocasiones se convierte en "casi" el mismo (claramente si el número es racional, a continuación, la imagen, finalmente, comienza a degenerar en la línea horizontal).

Ya que yo en realidad no sé exactamente cómo formular, permítanme hacer la pregunta en la forma que prácticamente se me ocurrió: por un real $x$ denotar por $P_r(c)$ la imagen de Ford círculos en el rectángulo $(x-c,x+c)\times(0,c)$ con resolución de $r$. Es decir, las características de tamaño de menos de $rc$ no puede ser observado; en particular, sólo el Ford círculos de radio $>rc$ son visibles, y por otra parte un círculo no puede ser distinguido de otro si ambos están contenidos en un anillo de anchura $<rc$.

Para que $x$ hacer allí para cualquier resolución de $r$ existen dos diferentes $c$ e $c'$ de manera tal que las imágenes $P_r(c)$ e $P_r(c')$ no se puede distinguir? (Bueno, deben ser "suficientemente diferente" - digo, todavía hay otra $c<c''<c'$ tal que $P_r(c'')$ pueden ser distinguidos de ambos).

Y la pregunta acerca de esta pregunta - ¿cuál es (si hay alguna) un matemático riguroso declaración detrás de ella?

(Más tarde -, decidió añadir el zoom de la proporción áurea, aquí el salto es casi imposible notar

Los círculos más cercano a la centro de la alternativa entre la izquierda y la derecha, la proporción de su tamaño debe ser algo así como números de Fibonacci consecutivos...

Answer 1

Antes de que pueda formular su pregunta, precisamente, se necesita una mejor noción de distancia entre dos imágenes de un conjunto $S \subset \mathbb{C}$ (donde en este caso, $S$ es la unión de Ford círculos). Si $\iota_1, \iota_2$ son imágenes (bijections de la plaza de subconjuntos $A_1, A_2$ de % de $\mathbb{C}$ a la unidad de la plaza), entonces podemos definir la distancia como la distancia de Hausdorff entre el $\iota_1(A_1 \cap S)$ e $\iota_2(A_2 \cap S)$.

(Con su definición original, podemos trivialmente encontrar dos indistinguible de imágenes por el principio del palomar, ya que hay sólo un número finito de distinguible de imágenes).

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Toda la teselación de Ford círculos pueden ser reconstruidos mediante la especificación de dos círculos tangentes junto con la línea horizontal. Por lo tanto, cualquier transformación de Moebius, el cual se asigna un par de tangente Ford círculos a otro par se debe extender a un automorphism de toda la teselación. Desde el Ford círculos no poseen la escala de invariancia, lo que responde a su primera pregunta (acerca de si la auto-similitud es exacta) negativamente.

Hay, por otro lado, una manera rigurosa en la cual podemos decir que su zoom de la secuencia acerca de una ecuación cuadrática es irracional 'asintóticamente' escala-invariante.

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Específicamente, el Ford círculos (visto como la vida en la mitad superior del plano -) son invariantes bajo el sistema modular de grupo $PSL(2, \mathbb{Z})$ que consta de todas las fracciones de transformaciones lineales:

$$ z \mapsto \dfrac{az + b}{cz + d} $$

donde $a,b,c,d \in \mathbb{Z}$ e $ad - bc = 1$. Por otra parte, estos son el único ejemplo de conformación automorfismos de la Ford círculos.

Ahora, para una ecuación cuadrática irracional $\phi$ con Galois conjugado $\psi$, podemos encontrar una $2 \times 2$ matriz $A \in SL(2, \mathbb{Z})$ de tal manera que los vectores propios son $(\phi, 1)$ e $(\psi, 1)$. Esto se corresponde en la forma obvia de una conformación automorphism $f$ de la Ford círculos que corrige los dos puntos de $\phi$ e $\psi$.

Desde $f$ es de conformación, corrige $\mathbb{R}$ y corrige el punto de $\phi$, luego a la orden lineal está dada por una escala $g$ sobre $\phi$. Es decir, si un punto de $x \in \mathbb{C}$ satisface $|x - \phi| < \varepsilon$, entonces el desplazamiento $|f(x) - g(x)| = o(\varepsilon)$.

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Se preguntó si todos los demás irrationals tienen la propiedad de que su zoom de la secuencia contiene dos imágenes que parecen indistinguibles. Si por el contrario nos plantean la condición "de que existe una infinita convergente larga de cuadros', entonces una condición suficiente es que si la secuencia de la continuación de la fracción convergents está dada por:

$\dfrac{a_1}{b_1}, \dfrac{a_2}{b_2}, \dfrac{a_3}{b_3}, \cdots$

a continuación, la secuencia de las relaciones entre los sucesivos denominadores:

$\dfrac{b_2}{b_1}, \dfrac{b_3}{b_2}, \dfrac{b_4}{b_3}, \cdots$

contiene una larga que converge, como entonces tenemos una secuencia de automorfismos $f_i$ con la propiedad de que:

• $f_i(\dfrac{a_{k_i}}{b_{k_i}}) = \dfrac{a_{k_{i+1}}}{b_{k_{i+1}}}$
• $f_i(\dfrac{a_{k_i+1}}{b_{k_i+1}}) = \dfrac{a_{k_{i+1}+1}}{b_{k_{i+1}+1}}$

y para todos lo suficientemente pequeñas bolas alrededor de $\phi$, los automorfismos convergen a una escala acerca de $\phi$ y el resultado sigue como antes.

Por otro lado, si las proporciones de los sucesivos denominadores crecer sin límite, entonces usted puede encontrar una secuencia de imágenes que converge a un acercamiento de la imagen de Ford círculos. En su animación de $\frac{1}{\pi}$, se puede ver esto debido a que el próximo convergente después de $\frac{355}{113}$ tiene un enorme denominador.

Por lo tanto para cada irracionales real, usted puede encontrar un convergentes secuencia de imágenes.

Answer 2

Definir el padre de un Ford círculo a ser el menor de sus dos grandes vecinos; entonces esta relación define el Stern–Brocot árbol en los puntos de tangencia de los círculos. La ruta en este árbol, a un determinado número real está estrechamente relacionada con la continuación de su fracción de expansión. Un camino en el árbol pueden ser representados de forma combinatoria por una secuencia binaria que determina si se va a la izquierda o a la derecha en cada paso, y esta secuencia es periódica exactamente para los números reales que han periódico fracciones continuas. Es decir, para la cuadrática irrationals. Parece muy probable que este periodicidad izquierda-derecha en los pasos es lo que está llevando a su percibe la periodicidad en la relación de los tamaños y las posiciones de los círculos, y que (una vez que usted determine una medida adecuada de la forma de similitud) esto puede ser demostrado de forma más rigurosa: las formas convertido en aproximadamente el periódico cuando la izquierda-a la derecha de la secuencia en el árbol es (después de un número finito de pasos) exactamente periódico.