En el estándar de los libros de referencia Localmente presentable y accesible categorías (Adamek-Rosicky, Teorema 2.11) y Accesible categorías (Makkai-Pare, $\S$2.3), se muestra que para regular los cardenales $\lambda\le\mu$, los siguientes son equivalentes:
- Cada $\lambda$-accesible categoría es $\mu$accesible.
- Para cada $\mu'<\mu$, la $P_\lambda(\mu')$ de los subconjuntos de $\mu'$ de cardinalidad $<\lambda$ tiene un cofinal subconjunto de cardinalidad $<\mu$.
Esta relación se denota $\lambda\unlhd \mu$ (o $\lambda \lhd \mu$ para la irreflexiva versión).
En La Mayor Topos De La Teoría (Lurie, Definición A. 2.6.3) la relación $\lambda\ll\mu$ se define como
- Para cada $\lambda'<\lambda$ e $\mu'<\mu$ tenemos $(\mu')^{\lambda'} <\mu$.
Por Ejemplo 2.13(4) de Adamek-Rosicky, si $\lambda\ll\mu$ e $\lambda<\mu$ entonces $\lambda\lhd \mu$. (De hecho, en este caso $P_\lambda(\mu')$ sí tiene cardinalidad $<\mu$.)
¿El conversar sostener? Es decir, si $\lambda\lhd \mu$ do tenemos $\lambda\ll\mu$?
Tenga en cuenta que las dos relaciones definitivamente difieren en la reflexiva caso: $\lambda\unlhd\lambda$ siempre es cierto, pero $\lambda\ll\lambda$ sólo se aplica cuando se $\lambda$ es inaccesible. También parece que lo contrario implica la generalización de la hipótesis continua para regular los cardenales, ya que si $\lambda^+ < 2^\lambda$ entonces tenemos $\lambda^+ \lhd \lambda^{++}$ pero no $\lambda^+ \ll \lambda^{++}$. Por lo tanto, la inversa no es demostrable en ZFC. Es disprovable?
