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Más de ZF, "cada espacio de Hilbert tienen una base" implica AC?

Yo sé que hay un resultado similar debido a Blass [1] que más de ZF, "todo espacio vectorial tiene una (Hamel)" implica AC. Mirando a su alrededor, sin embargo, no puedo encontrar cualquier resultado de la pregunta para espacios de Hilbert. Yo también no veo cómo generalizar Blass prueba a mi pregunta.

Para ser claros, lo que yo estoy pidiendo es:

Pregunta Sobre ZF, "cada espacio de Hilbert tienen una base" implica AC, donde un espacio de Hilbert es un completo producto interior espacio y una base para un espacio de Hilbert es un conjunto de ortonormales elementos cuyo lapso es densa?


[1] A. Blass, "la Existencia de bases implica el axioma de elección", Contemporáneo de las Matemáticas, Vol. 31, (1984).

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freespace Puntos 9024

Según el libro Albrecht Pietsch: la Historia de los Espacios de Banach y Lineal de Operadores (Birkhäuser, 2007, DOI: 10.1007/978-0-8176-4596-0) este es un problema abierto. (O al menos lo era en el momento de la publicación del libro.)

Cito de la p.586:

Tenemos una lista de más dos consecuencias del axioma de elección, que ya han sido discutidas en la 1.2.2 y 1.5.10, respectivamente:
$(\mathsf{B}_{\mathsf{alg}})$ de Cada reales o complejos espacio lineal tiene una base de Hamel.
$(\mathsf{B}_{\mathsf{orth}})$ de Cada real o complejo espacio de Hilbert tiene una base ortonormales.

Se desconoce si $(\mathsf{B}_{\mathsf{alg}}) \desbordado{?}\Rightarrow (\mathsf{AC})$ o $(\mathsf{B}_{\mathsf{orth}}) \desbordado{?}\Rightarrow (\mathsf{AC})$. Algunos resultados parciales fueron obtenidos por Bleicher [1964] y Halpern [1966]. Blass [1984, pág. 31] mostró que el axioma de elección de la siguiente manera, si suponemos que cada espacio lineal sobre un campo arbitrario tiene una base.

  • J. D. Halpern [1966] Bases en espacios vectoriales y el axioma de elección, Proc. Amer. De matemáticas. Soc. 17, 670-673. DOI: 10.1090/S0002-9939-1966-0194340-1
  • M. N. Bleicher [1964] Algunos teoremas sobre espacios vectoriales y el axioma de elección, Fondo. De matemáticas. 54, 95-107. eudml, matwbn
  • A. Blass [1984] la Existencia de base implica el axioma de elección, Contemp. De matemáticas. 31, 31-33. sitio web del autor

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