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Una expresión elemental para %-%-%

Considere la siguiente serie: $$S=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n\ \Gamma\left(\frac{5}{4}+n\right)}{n^2\ \Gamma(n)}.$$ Se puede expresar en términos de una función hipergeométrica: $$S=-\frac{5}{16}\Gamma\left(\frac{1}{4}\right)\ { _3F_2}\left(1,1,\frac{9}{4};2,2;-1\right).$$ Traté de encontrar una expresión de %-%-% usando funciones elementales y terminé con esta conjetura: %-%%1800$ dígitos decimales de precisión.

Ahora estoy buscando una manera rigurosa de probar esta fórmula. ¿Puede sugerir alguna idea de cómo hacerlo?

18voto

Yardboy Puntos 1981

Utilice la fórmula 16.5.2 de DLMF: $$_3F_2-izquierda(1,1,-frac94;2,2;-1-derecha)-int_0-1-_2F_1-izquierda(1,-frac94;2;-t-derecha)dt-frac45-int_0 1-frac-1-(1+t)-5/4-tdt-frac{2}{5}-left(8-4-sqrt[4]{8}+-pi-6-ln2+4 -ln (1+-sqrt[4]{2})-4 -arctan-sqrt[4]{2}+2-ln(1+-sqrt2)-right).$$ Algunas transformaciones elementales muestran que este resultado es equivalente a su conjetura.

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