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Sumas de las raíces de la unidad

Si la integral combinación lineal de unos $n$th raíces de la unidad ha de magnitud 1, ¿esto implica necesariamente que esta combinación lineal es una raíz de la unidad así? Más precisamente,

Deje que $\zeta_1, \ldots \zeta_k$ ser $n$th raíces de la unidad. Si $$|\sum_{i=1}^k n_i \zeta_i| = 1,$$ donde $n_i \in \mathbb{Z}$, ¿esto implica que $\sum_{i=1}^k n_i \zeta_i$ es un $n$th raíz de la unidad? ¿Qué pasa si el $n_i$ son los enteros de Gauss?

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Chris Benard Puntos1430

Sí. Para ser más específicos, voy a probar el siguiente: sea $\zeta$ ser $$n-ésima raíz de la unidad y deje que $\alpha = \sum a_k \zeta^k$ para algunos enteros $a_k$. Si $|\alpha|=1$, entonces $\alpha$ es una raíz de la unidad.

La clave será el siguiente teorema de Kronecker: Dejar que $\beta$ ser un entero algebraico, y supongamos que todos los Galois conjugados de $\beta$ valor absoluto de $1$. Entonces $\beta$ es una raíz de la unidad. Hemos discutido esto en MO. (Voy a reafirmar la condición de Galois conjugados de manera más explícita, a continuación.)

Es claro que $\alpha$ es un entero algebraico, por lo que la clave es ver que todos los de su Galois conjugados también han norma $1$. De manera muy explícita, queremos ver que, para cualquier $r$ relativamente primos a $n$, tenemos $|\sum a_k \zeta^{kr}|=1$. Vamos a escribir $\alpha^{(r)}$ $\sum a_k \zeta^{kr}$.

Aquí está el punto. Tenemos $$|\alpha|^2 = \alpha \overline{\alpha} = \left( \sum a_k \zeta^k \right) \left( \sum a_{\ell} \zeta^{- \ell} \right).$$ Multiplicando esto da un gran polinomio en $\zeta$ con coeficientes enteros; llamar a este polinomio $N$. El mismo cálculo muestra que $|\alpha^{(r)}|^2 = N(\zeta^r)$.

Así, nuestra hipótesis es que $N(\zeta) = 1$ y queremos demostrar que $N(\zeta^r)=1$ así. Desde $N(\zeta)=1$, vemos que $\zeta$ es una raíz de $N-1$. Desde el $$n-ésimo cyclotomic polinomio es irreducible, esto implica que $\zeta^r$ es también a raíz de la $N-1$, y hemos terminado.


Conceptualmente, este argumento trabajado, porque compleja conjugación estaba en el centro de $\mathrm{Ga}(\mathbb{Q}(\zeta)/\mathbb{Q})$. Un análogo argumento muestra que, si $K$ es cualquier CM campo, y $\alpha$ $K$ tiene norma $1$, entonces todos los conjugados de $\alpha$ han norma $1$.

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Noam D. Elkies Puntos17729

Mucho el mismo problema se acaba de publicar en mathoverflow (http://mathoverflow.net/questions/75753), y antes de que David Speyer hecho la conexión con este Stackexchange problema he publicado una respuesta con la de Dirichlet unidad teorema lugar de Kronecker a la caracterización de las raíces de la unidad. Como el enfoque de David utilizado, este se generaliza a un arbitrario "CM campo" (es decir, totalmente imaginaria cuadrática de la extensión total del número real de campo, que por Dirichlet es la única manera de que un trivial extensión de los campos de número puede tener la misma unidad-grupo de clasificación).

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JiminyCricket Puntos143

He aquí una alternativa a prueba. Parece más elementales para mí, pero que podría ser porque yo no veo las conexiones a los resultados de David prueba y estoy reinventando la rueda. Si hay ese tipo de conexiones, te agradecería si alguien pudiera punto de ellos en los comentarios. Mi prueba en el uso de David resultado que $|\sum a_k \zeta^{k}|=1$ implica $|\sum a_k \zeta^{kr}|=1$ para $r$ relativamente primos a $n$; el único "sofisticado" para ello se utiliza para la que fue la irreductibilidad de la cyclotomic polinomios (e implícitamente la única factorización).

En primer lugar, tenga en cuenta que la pregunta ha cambiado y la respuesta a la nueva pregunta es "no". Como escribí en los comentarios, dos raíces cúbicas de la unidad suma de un cuadrado de la raíz de la unidad, por lo que la restricción a $n$-th raíces de la unidad hace la declaración falsa.

La verdadera declaración en la pregunta original era: "Si la suma de unos $n$th raíces de la unidad tiene la magnitud de 1$$, esto implica que esta suma es una raíz de la unidad" (donde el mismo $$n-ésima raíz de la unidad puede ocurrir varias veces en la suma, para hacer de este equivalente al número entero combinación lineal de formulación). Esto es equivalente a la misma afirmación con "$n$-th" eliminados, ya que para cada conjunto de raíces de la unidad hay un denominador común $$ n para el cual están todos los $$n-ésimo raíces.

Ahora para la prueba, considere el vector libre del espacio en el conjunto de la $$n-ésimo raíces de la unidad. Cualquier combinación lineal de $n$-th raíces de la unidad actúa en este espacio vectorial por multiplicación. La matriz correspondiente con respecto a la base canónica es un circulantes de la matriz con la primera columna dada por los coeficientes de $a_i$ de la combinación lineal. Los vectores propios de este circulantes de la matriz son los modos de Fourier $v_r=(1,\omega^r,\omega^{2r},\dotsc$), con $\omega=\mathrm e^{2\pi\mathrm i/n}$, y los correspondientes valores propios son las transformadas de Fourier de los coeficientes, $\sum a_k \omega^{-kr}$.

Ahora, considere el natural mapa de $f$ a partir de este espacio vectorial a $\mathbb C$ el envío de cada vector de la correspondiente combinación lineal de las raíces de la unidad. Todos menos uno de los modos de Fourier están en el núcleo de este mapa. Sólo el $r=-1$ modo no lo es, y la correspondiente autovalor es nuestro número $\alpha=\sum a_k \omega^k$.

Ahora vamos a empezar con el vector $(1,0,\dotsc,0)$, correspondiente a la unidad, y, sucesivamente, se multiplica por el circulantes de la matriz. Este primer vector tiene la igualdad de los componentes de $1/$ n de cada uno de Fourier modo. Considere lo que sucede si sumamos los componentes correspondientes a las raíces primitivas para algunos divisor $d\mid$ n juntos. Si $d\neq$ n, todos estos se encuentran en el núcleo de $f$. Las entradas en su suma son Ramanujan las sumas, que son números enteros. Por lo tanto, al quitar estos componentes, no cambiamos el número complejo que los mapas vectoriales de a, y no podemos cambiar el hecho de que todas las entradas en el vector son múltiplos enteros de $1/$n.

Ahora todo lo que queda es la suma de las componentes correspondientes a las primitivas $$n-ésimo raíces. Sabemos que el autovalor de $r=-1$ magnitud $1$, y por David resultado que implica que todos los demás también tienen magnitud de 1$$. Así que tenemos un vector cuyas entradas son múltiplos enteros de $1/$ n y seguimos multiplicando por un número entero matriz cuyos autovalores (tan lejos como este vector se refiere) tiene magnitud $1$. De ello se desprende que hay sólo un número finito de valores de este vector puede tomar, por lo que tiene de conseguir finalmente de vuelta a donde comenzó, lo cual implica que $\alpha$ es una raíz de la unidad.

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