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Bolsa de trucos de cálculo avanzado / análisis y complejos análisis

Estoy estudiando para un examen y he estado estudiando mi trasero durante las vacaciones de invierno. Durante el curso de mi estudio he escrito abajo un buen número de trucos, que en mi opinión fueron 'escandaloso' :-). Es decir, que hay de ningún modo me vengan con que durante un examen, si yo no había visto eso antes.

Par de ejemplos.

  1. A veces, cuando quieres demostrar algo sobre $\max$, $\min$, escribir ( tengo esta de Bebé Rudin)

$$ \max(a,b)=\frac{a+b+ \vert a-b \vert} {2} $$ $$ \min (a,b)= \frac{a+b-|a-b|} {2} $$

  1. Para demostrar Hölder de la desigualdad (en su caso más simple) Escribe $\int (f+tg)^2 \geq 0$ y ya esta se mantiene positiva usted obtener que el discriminante de esta debe ser negativa, y por arte de magia usted obtener su desigualdad de Hölder.

  2. Cuando se desea mostrar algo acerca de distintos ceros de funciones complejas que clase de eliminar los ceros de f mediante la división con la correspondiente Möbius transforma y usted todavía consigue una analítica de las funciones que tiene buenas propiedades.

El valor de estos es que pueden ser utilizadas en otros contextos para escribir ordenada de las pruebas.

Eso es lo que quiero decir con "trucos". Esto puede ser difícil de responder, pero, ¿cuáles son algunos de los trucos que sabia que la gente tiene de la manga cuando se trata de Cálculo avanzado (Ambos de una sola variable, multivariable) y el Análisis complejo.

Cualquier cosa que usted tiene que compartir será muy apreciada. Muchas gracias por toda su ayuda.

19voto

Bryan Puntos 4072

Aquí hay un par de trucos y planes generales de enfoque que yo sé:

  • Si $x\in\Bbb R$ y para todo $\epsilon>0$ tenemos que $|x|\leq\epsilon$, entonces $x=0$. Creo que de este hecho como Real Análisis en una cáscara de nuez.
  • Nunca olvides que si $a\subseteq\Bbb R$ es acotado por arriba y $M=\sup a$, entonces para todo $\epsilon>0$ $y\in A$ tal que $M< y+\epsilon$. Del mismo modo, si $A$ es delimitada por debajo y $m=\inf a$, entonces para todo $\epsilon>0$ $y\in A$ tal que $y-\epsilon< m$. Esto es lo más importante empate entre $\Bbb R$'s algebraicas y propiedades de pedidos.
  • Nunca hay que subestimar el teorema del binomio, incluso si usted sólo quiere una desigualdad. Como un ejemplo, mira teorema 3.20(c) en Rudin y cómo lo usa.
  • Para todo $x,y\in\Bbb R$ y $\epsilon> 0$, se tiene la siguiente desigualdad: $$|xy|\leq \frac{\epsilon\,x^2+\epsilon^{-1}\,y^2}{2}$$ Esto puede ser derivado de la observiation que $(\epsilon\,|x|-|y|)^2\geq 0$. Esta desigualdad nos permite decidir cuánto 'peso' queremos dar a un término en particular en un producto. Esto puede ser utilizado para demostrar que el producto de Riemann integrable funciones todavía es Riemann integrable.
  • Una simple desigualdad recordar es $$(a+b)^p\leq 2^p (^p+b^p)$$ $a,b,p\geq 0$. Esto puede ser derivada desde el más simple aún la desigualdad $(a+b)\leq 2\max(a,b)$, de nuevo para los valores positivos. Esta desigualdad puede ser utilizado para demostrar que el $L^p$ espacios son espacios vectoriales.
  • El M de Weierstrass de la prueba es el primer amigo que llame al tratar con series de funciones.
  • Pregúntate a ti mismo si el problema en el que estás trabajando puede ser generalizado a la topología de la primera. Pensar acerca de compacidad y de la conectividad y el resumen teoremas sobre ellos ya lo saben.
  • Tal vez la mayor topológico de la propiedad que $\Bbb R$ ha es la segunda countability. Esto significa que $\Bbb R$ es hereditariamente-separables, secuencial, Frechet-Urysohn, y c de.c.c. Esta propiedad de $\Bbb R$ nos permite considerar las secuencias y secuencial continuidad en lugar de barrios y continuidad. Como un adagio, si usted está trabajando con $\epsilon$, pregunto a usted si usted puede en lugar de trabajar con $1/n$ con $n\in\Bbb$N.

13voto

sxd Puntos 2637

Un 'truco' que se utiliza mucho en mis cursos de análisis es: en vez de mostrar eso \leq $x $ y directamente, es generalmente mucho más fácil mostrar que, para todos $\epsilon > 0:x \leq y + \epsilon$.

10voto

JohnD Puntos 10104

No estoy seguro de si se requiere que un truco de ser algo demasiado duro/creativo o simplemente algo más a lo largo de las líneas de "Ahhh... yo no lo podría haber pensado en eso, pero ahora que la he visto, me gustaría ser capaz de hacerlo de nuevo!", especialmente si aparece una y otra vez.

Si te refieres al último, tenga en cuenta el ol' "agregar-y-resta" o "$\varepsilon/3$ truco", donde se inserta un nuevo término(s) que la suma y resta de algunos útiles de cantidad, generalmente seguido por una apelación a la desigualdad de triángulo (o algo similar) y algunas estimaciones conocidas. Un ejemplo clásico es para probar que el límite uniforme de funciones continuas es continua, donde hacemos uso de esta para la fabricación de las condiciones que conducen a la $\varepsilon/3$s'.

No es una técnica complicada, pero sin duda uno recurrente en el análisis.

6voto

Neall Puntos 12075

La inversa de la desigualdad del triángulo $$ |z - w| \geq ||z| - |w|| $$ - nota de la iterada valor absoluto de los signos en el derecho - es muy útil para probar una integral de la forma $\int_\gamma (f(z)/g(z))\,dz$ es pequeño en el curso de la evaluación de un verdadero integral a través del teorema de los residuos. Por la desigualdad de triángulo $|\int_\gamma f(z)/g(z)\,dz| \leq \int_\gamma |f(z)/g(z)|\,dz$, pero para obtener un límite superior en $|f(z)/g(z)| = |f(z)|/|g(z)|$ necesitamos una manera de formar una pena inferior límite en $|g(z)|$. Si $g(z) = u(z) - v(z)$ en algunos de manera natural, entonces $$ \left|\int_{\gamma}\frac{f(z)}{u(z) - v(z)}\,dz\right| \leq \int_\gamma \left|\frac{f(z)}{u(z)-v(z)}\right| \leq \int_{\gamma} \frac{|f(z)|}{||u(z)| - |v(z)||}\,dz, $$ y ahora la geometría subyacente de la situación nos puede ayudar a entender $|u(z)|$ y $|v(z)|$ por separado en el contorno de $\gamma$ en el fin de seguir progresando.

Cuando yo estaba aprendiendo a usar el teorema de los residuos en el cálculo de la real integrales, que me quedé muy impresionado cuando vi por primera vez esta desigualdad en la acción, y luego me encontré con que idea todo el tiempo en problemas tales para probar algunos de contorno integral era pequeña.

La desigualdad en sí es fácil derivar mediante el agregar y restar idea mencionada por JohnD: $|z| = |z-w+w| \leq |z-w| + |w|$, entonces $|z-w| \geq |z| - |w|$. El intercambio de los roles de $z$ y $w$ da $|z-w| \geq |w| - |z|$. Uno de $|z| - |w|$ o $|w| - |z|$ $||z| - |w||$ (el otro es de $\leq 0$), y a la inversa triángulo de la desigualdad se cae.

4voto

Matt Puntos 2318

Ahora oiga esto. Supongamos que $1 / p + 1/q = 1$. Si explotan la convexidad de la función de registro que puede aparecer por $x, y \ge 0$ $$xy \le {x ^ p p\over} + {x ^ q q\over}. $$ esto es fundamental para demostrar la desigualdad de Hölder.

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