12 votos

Una prueba válida de Jóvenes de la Desigualdad?

Parte de un ejercicio para demostrar que el Titular de la desigualdad en Rudin implica que demuestra Jóvenes de la Desigualdad... es decir, dada $\frac{1}{p}+\frac{1}{q} = 1$, probar $$ab \leq \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}.$$

Aquí está mi intento en una prueba:

Deje $$f(x) = \frac{x^p}{p} + \frac{b^q}{q} -bx$$
entonces, $$f'(x) = x^{p-1} -b$$ so that $f$ attains a minimum at $$x=b^{\frac{1}{p-1}}.$$ Since $\frac{p}{p-1} = p$, this is equivalent to saying that $f$ attains its minimum when $x^p = b^q$. Now, we need show that $$f(b^{\frac{1}{p-1}}) = 0.$$ calculamos
$$ \begin{align} f(b^{\frac{1}{p-1}}) &= \frac{(b^{\frac{1}{p-1}})^p}{p} + \frac{b^q}{q} - bb^{\frac{1}{p-1}} \\ &= \frac{b^q}{p} + \frac{b^q}{q} - b^{\frac{1}{p-1} +1} \\ &= \frac{b^q(p+q)}{pq} - b^{\frac{1}{p-1} +1} \\ &= b^q - b^{\frac{1}{p-1} +1} \\ &= b^q - b^q \\ & = 0 \end{align}$$ donde $b^{\frac{1}{p-1} +1} = b^q$ desde $$\frac{1}{p-1} +1 = \frac{1}{p-1} +\frac{p-1}{p-1} = \frac{p}{p-1} = q.$$ Thus, $f(x) = 0$ only when $x^p = b^q$. This is the global minimum of $f$ since $f^{"} \geq 0$ and analysis of concavity. Therefore, if $x > b^{\frac{1}{p-1}}$, $f(x) > 0$. That is, if $x^p > b^q$, the inequality holds. A similar analysis for $g(y) = \frac{a^p}{p} + \frac{y^p}{q} -ay$ shows that $g(y) > 0$ if $s^q > a^p$. Combining these two statements yields that, if $^p \neq b^p$, la desigualdad se mantiene, así que hemos terminado.

Esta es una prueba válida?

Si es así, si alguien pudiera ofrecer alguna alternativa pruebas, yo estaría más que interesado en ver.

4voto

jchapa Puntos 1958

Como se mencionó anteriormente, el estándar de prueba de los usos de la concavidad. Usted dijo que estaban interesados en otras pruebas así que aquí es cómo me enteré de esto:

Lo primero que va a asumir la $a,b \ne 0$ como esta, entonces, se vuelve trivial. Una declaración equivalente a la que queremos demostrar es la siguiente:

$$\frac{a}{b^{q-1}} \le \frac{1}{p} \cdot \frac{a^p}{b^q} + \frac{1}{q}$$

(dividir Jóvenes de la Desigualdad por $b^q$).

Deje $t = \frac{a^p}{b^q}$. A continuación,$t^{\frac{1}{p}} = \frac{a}{b^{q-1}}$, ya que el $\frac{q}{p} = q - 1$ , queremos mostrar que

$$t^{\frac{1}{p}} - \frac{1}{p} t \le \frac{1}{q}$$

Deje $f(t) = t^{\frac{1}{p}} - \frac{1}{p} t$. A continuación,$f(1) = 1 - \frac{1}{p} = \frac{1}{q}$. Si podemos demostrar que este es el máximo de $f(t)$ al $t > 0$, hemos terminado.

$$f'(t) = \frac{1}{p} t^{\frac{1}{p} - 1} - \frac{1}{p} = \frac{1}{p} \left(t^{-\frac{1}{q}} - 1\right)$$

Al $0 < t < 1$, podemos ver que $f'(t) > 0$, y del mismo modo al $t > 1$, podemos ver que $f'(t) < 0$. Por lo tanto, $\frac{1}{q}$ es un máximo local de $f(t)$, por lo que nos han demostrado que

$$t^{\frac{1}{p}} - \frac{1}{p} t \le \frac{1}{q}$$

Ahora sustituyendo de nuevo en $t = \frac{a^p}{b^q}$ obtenemos los Jóvenes de la Desigualdad a salir con algunas manipulaciones algebraicas.

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by: