Uso de las series de potencias La respuesta a la pregunta: es bien sabido que $e^x=\sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}$ y $\sin(x)=\sum_{k=0}^\infty (-1)^k\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}$ para cualquier número real $x$ Así que
$$ e^x\sin(x)=(1+x+\frac{x^2}{2!}+\dots+\frac{x^{10}}{10!}+\dots)(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}+\dots) $$
Al ampliar, el coeficiente de $x^{10}$ es $\frac{1}{9!1!}-\frac{1}{7!3!}+\frac{1}{5!5!}-\frac{1}{7!3!}+\frac{1}{9!1!}$
Pero este coeficiente también es $\frac{f^{(10)}(0)}{10!}$ Así que
$$ f^{(10)}(0)=\frac{10!}{9!1!}-\frac{10!}{7!3!}+\frac{10!}{5!5!}-\frac{10!}{7!3!}+\frac{10!}{9!1!} = 10 -120 + 252 - 120 +10 = 32$$
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Preguntas antiguas sobre este problema (o uno muy similar): $n$ derivada de $e^x \sin x$ y N derivada de la función . Tal vez pueda encontrar algunos más. Algunos consejos útiles para la búsqueda: ¿Cómo buscar en este sitio?
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"Intenté diferenciar unas cuantas veces para conseguir un patrón pero no lo conseguí" "Unas cuantas veces" significa... ¿qué?
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HNQ está roto. Exposición: La presente pregunta.
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Otra pregunta relacionada: $100$ -derivada de la función $f(x)=e^{x}\cos(x)$ .