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Encontrar la décima derivada de $f(x) = e^x\sin x$ en $x=0$

Me encontré con esta pregunta donde tengo que encontrar $$f^{(10)}$$ para la siguiente función en $x = 0$ $$f(x) = e^x\sin x$$

He intentado diferenciar varias veces para conseguir un patrón pero no lo he conseguido, puede alguien aportar la solución.

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Preguntas antiguas sobre este problema (o uno muy similar): $n$ derivada de $e^x \sin x$ y N derivada de la función . Tal vez pueda encontrar algunos más. Algunos consejos útiles para la búsqueda: ¿Cómo buscar en este sitio?

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"Intenté diferenciar unas cuantas veces para conseguir un patrón pero no lo conseguí" "Unas cuantas veces" significa... ¿qué?

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HNQ está roto. Exposición: La presente pregunta.

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Bernard Puntos 34415

Sugerencia :

Como $\;\mathrm e^x\sin x=\operatorname{Im}\bigl(\mathrm e^{(1+i)x}\bigr)$ hay que encontrar primero las partes reales e imaginarias de $(1+i)^{10}$ .

Algunos detalles :

De la observación anterior y de la linealidad de la diferenciación resulta que $\;(\mathrm e^x\sin x)'=\bigl(\operatorname{Im}(\mathrm e^{(1+i)x})\bigr)'= \operatorname{Im}\bigl((1+i)\mathrm e^{(1+i)x}\bigr)$ Por lo tanto $$\;(\mathrm e^x\sin x)''=\bigl(\operatorname{Im}((1+i)\mathrm e^{(1+i)x}))\bigr)'= \operatorname{Im}\bigl((1+i)^2\mathrm e^{(1+i)x}\bigr),$$ y en general $$(\mathrm e^x\sin x)^{(k)}=\bigl(\operatorname{Im}(\mathrm e^{(1+i)x})\bigr)^{(k)}=\operatorname{Im}\bigl((1+i)^k(\mathrm e^{(1+i)x})\bigr).$$

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Esta es, con mucho, la solución más eficaz.

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Conociendo $(1+i)^2=2i$ también ayuda

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Esta es una excelente pista, para estudiantes con un poco de conocimiento de los números complejos. También puede ir seguida de una segunda pista: ¡no uses la expansión binomial para encontrarlos!

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Rhys Hughes Puntos 11

Una pista:

$$f(x)=e^x\sin x$$ $$f'(x)=e^x(\sin x +\cos x)$$ $$f''(x)=e^x(\sin x+\cos x)+e^x(\cos x -\sin x)=2e^x(\cos x)$$ $$f'''(x)=e^x(2\cos x)-e^x(2\sin x)=2e^x(\cos x-\sin x)$$ $$f^{IV}(x)=2e^x(\cos x-\sin x)-2e^x(\cos x+\sin x)=-4e^x(\sin x)=-4f(x)$$

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Es la primera vez que se ven números romanos para denotar los derivados. ¡Qué bien!

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Las minúsculas también, una notación horrible si me preguntas.

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No tengo ningún problema con los números romanos en minúscula en general, pero aquí parece que se lleva la potencia a la unidad imaginaria (tiempos $v$ )...

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Taladris Puntos 2577

Uso de las series de potencias La respuesta a la pregunta: es bien sabido que $e^x=\sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}$ y $\sin(x)=\sum_{k=0}^\infty (-1)^k\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}$ para cualquier número real $x$ Así que

$$ e^x\sin(x)=(1+x+\frac{x^2}{2!}+\dots+\frac{x^{10}}{10!}+\dots)(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}+\dots) $$

Al ampliar, el coeficiente de $x^{10}$ es $\frac{1}{9!1!}-\frac{1}{7!3!}+\frac{1}{5!5!}-\frac{1}{7!3!}+\frac{1}{9!1!}$

Pero este coeficiente también es $\frac{f^{(10)}(0)}{10!}$ Así que

$$ f^{(10)}(0)=\frac{10!}{9!1!}-\frac{10!}{7!3!}+\frac{10!}{5!5!}-\frac{10!}{7!3!}+\frac{10!}{9!1!} = 10 -120 + 252 - 120 +10 = 32$$

3 votos

Toma nota de esta solución, si se necesita la derivada en algún punto, no necesitas una expresión simbólica para la $n$ la derivada evaluada en un punto arbitrario $x$ . En algunos casos en los que no se dispone de una expresión simbólica, todavía se puede encontrar el $n$ derivada en algún punto especial para un $n$ . Además, existe un método general basado en la división Newton-Raphson para encontrar el $n$ derivada de una función arbitraria en un punto determinado utilizando alguna potencia de $\log(n)$ multiplicaciones. Algunos sistemas de álgebra computacional utilizan estos métodos para calcular expansiones en serie.

10voto

Utilizar la regla de Leibniz para las derivadas superiores de un producto: $$\frac{d^n}{dx^n}(uv) =\frac{d^nu}{dx^n}v+\binom n1\frac{d^{n-1}u}{dx^{n-1}}\frac{dv}{dx} +\binom n2\frac{d^{n-2}u}{dx^{n-2}}\frac{d^2v}{dx^2}+\cdots+u\frac{d^nv}{dx^n}\ .$$ En su caso tome $u=e^x$ y $v=\sin x$ . Ya que va a sustituir $x=0$ después de diferenciar, todos los $e^x$ los términos serán $1$ , todos los $\sin x$ los términos serán $0$ y todo el cos $x$ los términos serán $1$ (aunque algunos de ellos recogerán un signo negativo al diferenciar). Así que la respuesta es $$\eqalign{0+\binom{10}11&{}+\binom{10}20+\binom{10}3(-1)+\binom{10}40+\binom{10}51\cr &\qquad{}+\binom{10}60+\binom{10}7(-1)+\binom{10}80+\binom{10}91+\binom{10}{10}0\cr &=10-120+252-120+10\cr &=32\ .\cr}$$

4voto

runeh Puntos 1304

Un truco para ello es utilizar $e^{ix}=\cos x+i\sin x$ y definir $g(x)=e^x\cos x$ entonces $f(x)$ y $g(x)$ son ambas funciones reales.

Dejemos que $h(x)=g(x)+if(x)=e^{(1+i)x}$ entonces la décima derivada de $h(x)$ es $(1+i)^{10}h(x)$ y la décima derivada de $f(x)$ es la parte imaginaria de esto.

Porque sólo quieres el valor en $x=0$ puede evaluar allí, con $h(0)=g(0)+if(0)$

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