¿Existe una solución analítica para este problema?

Question

Función dada $$f_n(x) = \cos x - (\cos \cos x) + (\cos \cos \cos x) - (\cos \cos \cos \cos x) + \dots + (-1)^{n-1} \underbrace{ \cos \cos \dots \cos }_n x,$$ donde $n \in \mathbb{N}$ y $\underbrace{ \cos \cos \dots \cos }_n$ significa coseno de coseno de coseno y así sucesivamente $n$ veces, encontrar el valor de $$\sup_{n \rightarrow \infty, x \in \mathbb{R}} \{f_n(x)\}^{n}_{k=1}$$

Answer 1

Esto no es una respuesta completa, pero debería ayudarte a derivar límites para el valor en ambas direcciones.

Dividir la suma $$ \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} \cos^n(x) $$ en una parte finita de términos principales con longitud impar y los restantes términos superiores $$ \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} \cos^n(x) = \sum_{n=1}^{2N +1} (-1)^{n-1} \cos^n(x) + \sum_{n=2N+2}^\infty (-1)^{n-1} \cos^n(x). $$

El máximo de la primera parte ( $f_{2N+1}$ ) está en $x=0$ y puede ser acotado en ambas direcciones. Por lo tanto, el supremum de la secuencia también se alcanza en (o más bien en una vecindad de) $x=0$ . Esto se desprende de la siguiente aproximación para los términos restantes (o más precisamente, de una cota concreta que debería obtenerse de ella).

Para los términos restantes, observe que la secuencia $\cos^n(x)$ converge a un punto fijo único para todo $x \in \mathbb{R}$ la solución única $x_0$ de $\cos x = x$ . Así, los sumandos son casi iguales hasta sus signos alternos. Transformamos las coordenadas y trabajamos con los sumandos $\pm \cos^n(x) - x_0$ .

Dejemos que $r = |(\frac{d}{dx} \cos)(x_0)| = |\sin(x_0)|$ . Entonces $r$ es el orden de convergencia de $\cos^n(x) \to x_0$ es decir. $$ \Delta_n := |\cos^n(x) - x_0| \approx \Delta_0 r^n. $$ (Esto se deduce por una aproximación de Taylor de primer orden de la ecuación de recurrencia en torno a $x_0$ .)

Por lo tanto, para el resto de los términos obtenemos aproximadamente \begin{align*} &\sum_{n = N + 1}^\infty (\Delta_{2n} - \Delta_{2n+1}) \\ = &\sum_{n = N + 1}^\infty (1-r) \Delta_{2n} \\ = &(1-r) \Delta_{2N + 2} \sum{n = 0}^\infty r^2 \\ = &\Delta_{2N+2} \frac{1-r}{1-r^2} \\ = &\Delta_{2N+2} \frac{1}{1+r}. \end{align*}

En cuanto a la cuestión de una forma analítica y si el valor es expresable en términos de $\pi$ Me inclino por decir que no a ambas cosas. Según un cálculo con Sage con 2000 bits de precisión, el valor se ha estabilizado hace tiempo en $f_{10001}$ y difiere de $\pi/2$ en aproximadamente 3,9e-5.

Ya la solución de $\cos(x) - x=0$ debería ser trascendental y no expresable en las funciones trascendentales estándar, pero tales pruebas son en general increíblemente difíciles.