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¿Cuáles son los fundamentos que justifican la mecánica estadística sin apelar a la hipótesis ergódica?

Esta cuestión figuraba como una de las preguntas de la propuesta (véase aquí ), y no sabía la respuesta. No sé la ética en el robo descarado de una pregunta de este tipo, por lo que si debe ser eliminado o ser cambiado a CW entonces voy a dejar que los mods cambiar.

La mayoría de los fundamentos de la mecánica estadística apelan a la hipótesis ergódica . Sin embargo, esta es una suposición bastante fuerte desde una perspectiva matemática. Hay una serie de resultados utilizados con frecuencia en la mecánica estadística que se basan en la teoría ergódica. En todas las clases de mecánica estadística que he tomado y en casi todos los libros que he leído, la suposición se basaba únicamente en la justificación de que sin ella los cálculos se vuelven prácticamente imposibles.

Por eso me sorprendió ver que se afirma (en el primer enlace) que la hipótesis ergódica es "absolutamente innecesaria". La pregunta es bastante autoexplicativa, pero para una respuesta completa buscaría una referencia que contenga el desarrollo de la mecánica estadística sin apelar a la hipótesis ergódica, y en particular alguna discusión sobre lo que supone la hipótesis ergódica respecto a otros esquemas fundacionales.

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Creo que el término "fundamentos justificativos" es un término erróneo, y esta cuestión se plantea sólo por el uso de este término. Yo entiendo que los experimentos son el único fundamento de cualquier área de la física. La hipótesis ergódica no es más que un truco matemático que se utiliza para mostrar el fundamento de las leyes de la estadística. Estas leyes, dentro de su rango de aplicabilidad, son bastante buenas para explicar una serie de fenómenos termodinámicos observables. Y ésta es la justificación de la física estadística. La mecánica estadística no se "deriva" de la hipótesis ergódica, aunque Landau y Lifshitz lo hagan parecer así.

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Tal vez esto debería ser una respuesta :)

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No estoy de acuerdo con +drlemon. La mecánica estadística no es un modelo fenomenológico, como afirma drlemon. La mecánica estadística, tal y como la utilizan los físicos, es un método para deducir las propiedades de un sistema con un gran número (infinito, en realidad) de componentes a partir del comportamiento postulado (o medido) de los componentes individuales. Por ejemplo, es una herramienta para derivar las leyes termodinámicas de los gases a partir de las leyes de movimiento de las moléculas individuales. El hecho de que un gas de partículas no interactivas que obedecen las leyes de Newton satisfaga la ley del gas ideal es algo que se deduce, no un hecho experimental.

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Aleksandr Levchuk Puntos 1110

La hipótesis ergódica no forma parte de los fundamentos de la mecánica estadística. De hecho, sólo es relevante cuando se quiere utilizar la mecánica estadística para hacer afirmaciones sobre los promedios temporales. Sin la hipótesis ergódica, la mecánica estadística hace afirmaciones sobre conjuntos, no sobre un sistema concreto.

Para entender esta respuesta hay que comprender lo que un físico entiende por conjunto. Es lo mismo que lo que un matemático llama un espacio de probabilidad. El "Conjunto estadístico" El artículo de la wikipedia explica bastante bien el concepto. Incluso tiene un párrafo que explica el papel de la hipótesis ergódica.

La razón por la que algunos autores hacen parecer que la hipótesis ergódica es central en la mecánica estadística es que quieren darte una justificación de por qué están tan interesados en el conjunto microcanónico. Y la razón que dan es que la hipótesis ergódica es válida para ese conjunto cuando tienes un sistema para el que el tiempo que pasa en una región particular del espacio de fase accesible es proporcional al volumen de esa región. Pero esto no es fundamental para la mecánica estadística. La mecánica estadística se puede hacer con otros conjuntos y además hay otras formas de justificar el conjunto canónico, por ejemplo es el conjunto que maximiza la entropía.

Una teoría física sólo es útil si puede compararse con los experimentos. La mecánica estadística sin la hipótesis ergódica, que sólo hace afirmaciones sobre conjuntos, sólo es útil si se pueden hacer mediciones sobre el conjunto. Esto significa que debe ser posible repetir un experimento una y otra vez y que la frecuencia con la que se obtienen determinados miembros del conjunto debe estar determinada por la distribución de probabilidad del conjunto que has utilizado como punto de partida de tus cálculos de mecánica estadística.

Sin embargo, a veces sólo se puede experimentar con una sola muestra del conjunto. En ese caso, la mecánica estadística sin una hipótesis ergódica no es muy útil porque, aunque puede decir cómo sería una muestra típica del conjunto, no sabes si tu muestra particular es típica. Aquí es donde ayuda la hipótesis ergódica. Afirma que la media temporal tomada en cualquier muestra particular es igual a la media del conjunto. La mecánica estadística permite calcular la media del conjunto. Si puedes hacer mediciones en tu muestra durante un tiempo suficientemente largo, puedes tomar la media y compararla con la media del conjunto predicha y, por tanto, probar la teoría.

Así, en muchas aplicaciones prácticas de la mecánica estadística, la hipótesis ergódica es muy importante, pero no es fundamental para la mecánica estadística, sólo para su aplicación a ciertos tipos de experimentos.

En esta respuesta he tomado la hipótesis ergódica como la afirmación de que los promedios del conjunto son iguales a los promedios del tiempo. Para aumentar la confusión, hay quien dice que la hipótesis ergódica es la afirmación de que el tiempo que un sistema pasa en una región del espacio de fases es proporcional al volumen de esa región. Estas dos son iguales cuando el conjunto elegido es el conjunto microcanónico.

Así que, para resumir: la hipótesis ergódica se utiliza en dos lugares:

  1. Justificar el uso del conjunto microcanónico.
  2. Hacer predicciones sobre la media temporal de los observables.

Ninguna de las dos cosas es fundamental para la mecánica estadística, ya que 1) la mecánica estadística puede hacerse y se hace para otros conjuntos (por ejemplo, los determinados por procesos estocásticos) y 2) a menudo se hacen experimentos con muchas muestras del conjunto en lugar de con medias temporales de una sola muestra.

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Esa es una gran explicación de por qué la hipótesis ergódica no es el mejor fundamento de la mecánica estadística, pero la pregunta parece ser más sobre cuáles son los puntos de partida correctos (principios/postulados básicos) para definir/elegir conjuntos físicamente correctos.

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Agradezco la respuesta en profundidad, y ciertamente responde a la mayor parte de mi pregunta. Como sugiere Slaviks, también me interesaba saber cuáles son los puntos de partida adecuados. Cualquier cosa en este sentido (aunque sólo sea señalar una referencia en la que se discutan a fondo los fundamentos) se agradecería. No sabía que la hipótesis ergódica podía significar dos cosas diferentes. Siempre la he visto como la afirmación que has elegido. De momento no lo he aceptado todavía, pero pienso hacerlo hoy mismo.

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De acuerdo, después de releerlo me parece que estás afirmando que los fundamentos estándar de la mecánica estadística no invocan en absoluto la hipótesis ergódica, y que el énfasis en ella es culpa de una mala pedagogía y no de una mala elección de los principios y postulados fundamentales. Lo he interpretado mal antes. En cualquier caso, esto responde plena y completamente a la pregunta, así que lo he aceptado.

36voto

Hmazter Puntos 66

En cuanto a las referencias a otros enfoques de los fundamentos de la Física Estadística, puede echar un vistazo al papel clásico de Jaynes ; véase también, por ejemplo este documento (en particular la sección 2.3) donde discute la irrelevancia de las hipótesis de tipo ergódico como fundamento de la mecánica estadística de equilibrio. Por supuesto, el enfoque de Jaynes también adolece de una serie de deficiencias, y creo que se puede afirmar sin temor a equivocarse que el problema fundacional de la mecánica estadística de equilibrio sigue ampliamente abierto.

También puede ser interesante ver este documento de Uffink, donde se describen la mayoría de los enfoques modernos (y antiguos) de este problema, junto con sus respectivas deficiencias. Esto le proporcionará muchas referencias más recientes.

Por último, si quieres una discusión matemáticamente más profunda del papel de la ergodicidad (correctamente interpretada) en los fundamentos de la mecánica estadística, deberías echar un vistazo a la obra de Gallavotti Mecánica estadística - tratado breve Springer-Verlag (1999), en particular los capítulos I, II y IX.

EDIT (22 de junio de 2012): Acabo de acordarme de este artículo de Bricmont que leí hace tiempo. Es bastante interesante y una lectura agradable (como la mayoría de lo que escribe): Bayes, Boltzmann y Bohm: las probabilidades en la física .

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¿Podría proporcionar algunas referencias a las críticas del enfoque de Jaynes? Creo que su pensamiento cambió sutilmente a lo largo de los años, y de hecho creo que en algún momento tuvo una teoría totalmente defendible...

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@genneth: Hay varios. Debo confesar que soy algo parcial (el enfoque de Jaynes me parece infinitamente mejor que el ergódico). Dicho esto: una crítica importante es algo filosófica. En el enfoque de Jaynes, la stat. mech. no es realmente una teoría física como se suele entender, sino un ejemplo particular de inferencia estadística.

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En segundo lugar, la aplicación de MaxEnt está bien cuando el espacio de configuración subyacente es un conjunto finito, pero resulta mucho menos convincente cuando se trata de situaciones más complicadas. Por ejemplo, si uno quiere describir un gas (¡no un modelo de celosía!), ¿por qué debería favorecer la medida de Liouville? Las cosas empeoran aún más cuando las partículas tienen grados de libertad internos: por ejemplo, para las moléculas diatómicas, ¿por qué deberíamos tomar las coordenadas del ángulo de acción? Se pueden encontrar argumentos, pero son bastante débiles. Por supuesto, también hay dificultades similares en el enfoque ergódico (las condiciones iniciales deben ser "típicas").

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balexandre Puntos 346

He buscado "mezclando" y no lo encontré en otras respuestas. Pero esta es la clave. La ergodicidad es en gran medida irrelevante, pero la mezcla es la propiedad que hace que la física estadística de equilibrio funcione para los sistemas de muchas partículas. Véase, por ejemplo, Sklar's Física y azar o los trabajos de Jaynes sobre física estadística.

La hipótesis caótica de Gallavotti y Cohen sugiere básicamente que lo mismo ocurre con las NESS.

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Keng Puntos 10618

Tal vez le interesen estas conferencias:

El entrelazamiento y los fundamentos de la mecánica estadística

Las máquinas térmicas más pequeñas posibles y los fundamentos de la termodinámica

de Sandu Popescu en el Instituto Perimeter, así como en este documento

El entrelazamiento y los fundamentos de la mecánica estadística .

Se argumenta que:

  1. "el principal postulado de la mecánica estadística, el postulado de la igualdad de probabilidad a priori, debería abandonarse por ser engañoso e innecesario" (la hipótesis ergódica es una forma de asegurar el postulado de la igualdad de probabilidad a priori)

  2. En cambio, se propone una base cuántica para la mecánica estadística, basada en el entrelazamiento. En el espacio de Hilbert, se argumenta, casi todos los estados se acercan a la distribución canónica.

Puede encontrar en el documento otras referencias interesantes sobre este tema.

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Desde hace mucho tiempo se sabe, incluso en la mecánica clásica y en la mecánica estadística clásica, por ejemplo, en la teoría del movimiento browniano, que debería ser posible, en principio, prescindir del postulado de la probabilidad igual a priori. Se ha observado que los límites termodinámicos que obtenemos son en gran medida independientes de la distribución de probabilidad inicial que se imponga en el espacio de fases. Una investigación matemática rigurosa de esta robustez se siente como un Problema del Milenio... pero en términos físicos, la intuición se remonta a Sir James Jeans.

3voto

Giacomo Verticale Puntos 1035

No estoy de acuerdo con la afirmación de Marek de que "en muchas aplicaciones prácticas de la mecánica estadística, la hipótesis ergódica es muy importante, pero no es fundamental para la mecánica estadística, sólo para su aplicación a ciertos tipos de experimentos".

La hipótesis ergódica no es necesaria en ninguna parte. Véase la Parte II de mi libro Mecánica clásica y cuántica mediante álgebras de Lie para un tratamiento de la mecánica estadística independiente de los supuestos de ergodicidad o mezcla, pero recuperando las fórmulas habituales de la termodinámica del equilibrio.

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Relacionado: mat.univie.ac.at/~neum/physfaq/topics/ergodic.html por Arnold Neumaier, a sí mismo.

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