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¿El cuadrado o el círculo tiene el mayor perímetro? Un sorprendentemente difícil problema para estudiantes de secundaria

Un examen para los estudiantes de escuela secundaria tenía el siguiente problema:

Deje que el punto $E$ ser el punto medio del segmento de línea $AD$ en la plaza $ABCD$. A continuación, vamos a un círculo determinado por los puntos $E$, $B$ y $C$, como se muestra en el diagrama. Cuál de las figuras geométricas tiene el mayor perímetro, el cuadrado o el círculo?

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Por supuesto, hay algunas maneras de resolver este problema. Un método es como sigue: se supone que las longitudes de los lados del cuadrado es de $1$, poner todo en algún lugar en un sistema de coordenadas Cartesianas, encontrar el punto medio del círculo utilizando las coordenadas de $E$, $B$ y $C$, y luego encontrar el radio del círculo, y, finalmente, el uso de la radio para calcular el círculo de la circunferencia y compararlo con el perímetro de la plaza.

El problema con este método es que aparentemente este problema se supone que para ser muy simple; no debería requerir que el estudiante conozca la fórmula del punto medio de un círculo dado tres coordenadas. Por lo tanto, la pregunta aquí es: ¿existe una manera simple de resolver el problema sin saber nada de complicadas fórmulas geométricas?

201voto

chaiwalla Puntos 1132

Quizás el examinador de la intención de los estudiantes que observen la plaza está determinado por un $(3, 4, 5)$ triángulo, porque $3 + 5 = 4 + 4$ (!):

A circle and square

En consecuencia, como otros han señalado, $$ \frac{\text{perímetro del círculo}}{\text{perímetro de la plaza}} = \frac{5 \cdot 2\pi}{4 \cdot 8} = \frac{\pi}{3.2} < 1. $$


Para un enfoque menos dependiente de la inspiración, tomando el origen del sistema de coordenadas en el centro del círculo parece más fácil que colocar el origen en el centro de la plaza. Sin pérdida de generalidad, supongamos que el círculo tiene radio de la unidad:

Expressing the dimensions of the square

La equiparación de las longitudes de los bordes horizontal y vertical de la plaza en este diagrama, podemos leer $$ x + 1 = 2y\quad\text{(o $x = 2y - 1$).} $$ Invocando el teorema de Pitágoras y la sustitución de la línea anterior, \begin{align*} 0 y= x^{2} + y^{2} - 1 \\ Y= (2y - 1)^{2} + y^{2} - 1 \\ &= 5y^{2} - 4y \\ y= y(5y - 4). \end{align*} Claramente $y \neq 0$, entonces $ $ y = 4/5$, $x = 3/5$, y notamos que el Examinador Favorito de Triángulo.

117voto

Mike Puntos 1113

He aquí una prueba de que llegue a la relación de diámetro del círculo al cuadrado de lado usando triángulos semejantes, más que el teorema de Pitágoras:

Perimeter comparison

Dibujar el diámetro de la circunferencia de $E$; dejar que el otro extremo de que el diámetro sea $F$ y se deja atravesar la plaza en $G$. A continuación, desde el ángulo $\measuredangle EBF$ es un ángulo recto, los triángulos $\bigtriangleup EBG$ y $\bigtriangleup BFG$ son similares. Obviamente $|EG|=2|BG|$, entonces $|BG|=2|FG|$ (o en otras palabras $|FG|=\frac12|BG|$) y así $|EF|=|EG|+|FG|=2|BG|+\frac12|BG|=\frac52|BG|$. A partir de aquí la prueba se procede como con los otros: el perímetro del cuadrado es de $4|EG|=8|BG|$ y la circunferencia del círculo es de $\pi|EF|=\frac{5\pi}{2}|BG|$. De $\pi\lt\frac{16}5=3.2$, obtenemos $5\pi\lt16$ y $\frac{5\pi}{2}\lt 8$, por lo que el perímetro del cuadrado es mayor.

67voto

steveverrill Puntos 721

Respecto de Abel comentario que le gustaría ver a un menor de prueba computacional, considere lo siguiente. Es evidente que la longitud de un lado del cuadrado es de $4 dólares pequeñas plazas, y la mediatriz de $EB$ cruza la horizontal de la línea de centro del dibujo de $2.5$ pequeños cuadrados de $E$. Disculpas por la imprecisión de dibujo.

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Más formalmente, si llamamos al centro de la plaza de origen:

EB tiene extremos $(-2,0)$ y $(2,2)$ por lo tanto no tiene punto medio $(0,1)$ y gradiente de $\frac12$.

La mediatriz de EB ha degradado $\frac{-1}{\mathrm{gradiente\ de\ EB}}=-2$ por lo tanto, se cruza la $x$-eje en $(\frac12,0)$

El perímetro de ABCD = $16$

El perímetro de un círculo = $2 * \pi * 2.5 \aprox 15.71$



(Me gustó esta respuesta lo mucho que me quería ilustrar paso a paso el proceso de encontrar la ubicación del centro de la circunferencia:

En primer lugar, el centro del círculo se define por la intersección de diámetros; es, obviamente, la línea recta a lo largo de la $E$, y el otro es generado por la perpendicular desde el punto medio de $EB$:

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A continuación, podemos localizar el punto medio de $EB$ como estar a medio camino a través de la plaza, y un cuarto hacia abajo desde la parte superior:

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A continuación, podemos encontrar otro punto en la perpendicular al girar el rectángulo de E en el punto medio a través de un ángulo recto:

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Y es entonces obvio que el radio del círculo es de $\frac{5}{8}$ el lado de la plaza.

Joffan)

28voto

voy a dejar que el lado del cuadrado sea de $2.$ el centro del círculo es el punto de intersección de las mediatrices de los acordes $BC$ y $EB$. deje que el punto de ser $O$ y el pie de la perpendicular desde $O$ ser $F.$ ahora, el triángulo de $OEF$ es similar a la $ABE.$ por lo tanto, $$\frac{OE}{EB}= \frac{EF}{BA} \a \frac{OE}{\sqrt 5} = \frac{\sqrt 5/2}{2}\OE = 5/4.$$

la circunferencia del círculo es de $$2\pi \frac 5 4= 5\pi/2 = 7.85 $$, que es menos de $8$ la circunferencia de la plaza. que están muy cerca.

me gustaría ver una prueba de que no es tan computacional como este.

25voto

Calum Gilhooley Puntos 1114

Esta no es una respuesta completa, sólo una observación para complementar las otras respuestas (y celebrar el Día de Pi).

Si usted construcción de las tangentes en los puntos 20 $(0, \pm25)$, $(\pm25, 0)$, $(\pm15, \pm20)$, $(\pm20, \pm15)$, $(\pm7, \pm24)$, $(\pm24, \pm7)$ en el círculo de un radio de 25 centrada en el origen, se cruzan en los vértices $(\pm\frac{25}{7}, \pm25)$, $(\pm25, \pm\frac{25}{7})$, $(\pm\frac{125}{11}, \pm\frac{250}{11})$, $(\pm\frac{250}{11}, \pm\frac{125}{11})$, $(\pm\frac{125}{7}, \pm\frac{125}{7})$ de un irregular que circunscribe icosagon, cuyo perímetro es de $8 \times \left(\frac{25}{7} + 2 \times \frac{625}{77}\right) = \frac{12200}{77} = 158\frac{34}{77} < 160,$ como se requiere.

Comparando esto con la circunferencia, de 50 $\pi$, de la circunferencia inscrita, se obtiene el límite superior de $\pi$: $$ \pi < \frac{244}{77} = 3\frac{13}{77} < 3.17. $$

Aquí, el que circunscribe icosagon se muestra en rojo, con el círculo (sólo) visible por detrás en negro.

irregular circumscribing icosagon

Los puntos de tangencia están marcados con pequeños círculos azules. El 16 de triángulos rectángulos utilizados en la construcción, que se muestra en verde, son todos de Pitágoras, en proporción de 3:4:5 o 7:24:25, con hipotenusa $\frac{625}{77}$. Los otros 4 bordes de la icosagon son de longitud $\frac{50}{7}$.

No hay necesidad de calcular los ángulos, pero la simetría de la figura, está iluminada por el conocimiento de la secuencia de ángulo subtendido en el centro del círculo. Correr en sentido antihorario desde el positivo de $x$-eje positivo de $$y-eje, es: $\underline{\alpha\alpha\beta\beta\alpha\alpha\beta\beta\alpha\alpha}$, donde $\alpha = \bronceado^{-1}\frac{1}{7}$, $\beta = \bronceado^{-1}\frac{2}{11}$, y: \begin{se reúnen*} 2\alpha = \bronceado^{-1}\frac{7}{24}, \ \alpha + \beta = \bronceado^{-1}\frac{1}{3}, \ 2\alpha + \beta = \bronceado^{-1}\frac{1}{2}, \\ 2\alpha + 2\beta = \bronceado^{-1}\frac{3}{4}, \ 3\alpha + 2\beta = \frac{\pi}{4}, \ 4\alpha + 2\beta = \bronceado^{-1}\frac{4}{3}, \\ 4\alpha + 3\beta = \bronceado^{-1}2, \ 5\alpha + 3\beta = \bronceado^{-1}3, \ 4\alpha + 4\beta = \bronceado^{-1}\frac{24}{7}. \end{se reúnen*}

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