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Factorizar el polinomio $x^3+y^3+z^3-3xyz$

Quiero factorizar el polinomio $x^3+y^3+z^3-3xyz$ . Usando Mathematica encuentro que es igual a $(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$ . Pero cómo puedo factorizarlo a mano ?

17voto

Joe Gauterin Puntos 9526

Consideremos el polinomio $$(\lambda - x)(\lambda - y)(\lambda - z) = \lambda^3 - a\lambda^2+b\lambda-c\tag{*1}$$ Sabemos que $$\begin{cases}a = x + y +z\\ b = xy + yz + xz \\ c = x y z\end{cases}$$ Sustituir $x, y, z$ para $\lambda$ en $(*1)$ y la suma, obtenemos $$x^3 + y^3 + z^3 - a(x^2+y^2+z^2) + b(x+y+z) - 3c = 0$$ Esto equivale a $$\begin{align} x^3+y^3+z^3 - 3xyz = & x^3+y^3+z^3 - 3c\\ = & a(x^2+y^2+z^2) - b(x+y+z)\\ = & (x+y+z)(x^2+y^2+z^2 -xy - yz -zx) \end{align}$$

17voto

Yurii Savchuk Puntos 2707

$x^3+y^3+z^3-3xyz=x^3+y^3+3x^2y+3xy^2+z^3-3xyz-3x^2y-3xy^2=(x+y)^3+z^3-3xy(x+y+z)=(x+y+z)((x+y)^2+z^2-(x+y)z)-3xy(x+y+z)=(x+y+z)(x^2+2xy+y^2+z^2-xy-xz-3xy)=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$

16voto

Elensil Puntos 465

Tenga en cuenta que (se puede ver fácilmente con la regla de Sarrus) $$ \begin{vmatrix} x & y & z \\ z & x & y \\ y & z & x \\ \end{vmatrix}=x^3+y^3+z^3-3xyz $$

Por otro lado, es igual a (si añadimos a la primera fila otras 2 filas) $$ \begin{vmatrix} x+y+z & x+y+z & x+y+z \\ z & x & y \\ y & z & x \\ \end{vmatrix}=(x+y+z)\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ z & x & y \\ y & z & x \\ \end{vmatrix}=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz) $$ tal y como queríamos. La última igualdad se deduce de la expansión del determinante por la primera fila.

11voto

lhf Puntos 83572

Utilice Las identidades de Newton :

$p_3=e_1 p_2 - e_2 p_1 + 3e_3$ y así $p_3-3e_3 =e_1 p_2 - e_2 p_1 = p_1(p_2-e_2)$ según sea necesario.

Aquí

$p_1= x+y+z = e_1$

$p_2= x^2+y^2+z^2$

$p_3= x^3+y^3+z^3$

$e_2 = xy + xz + yz$

$e_3 = xyz$

10voto

Dark Shikari Puntos 6178

Un polinomio de $\mathbb{Q}[x,y,z]$ es un polinomio de $\mathbb{Q}[x,y][z]$ por lo que puede verse como un polinomio en $z$ con coeficientes del dominio integral $\mathbb{Q}[x,y]$ . $$p(z)=z^3-3xy \cdot z +x^3+y^3$$

Así que podemos probar nuestros métodos para factorizar un polinomio de grado 3 sobre un dominio integral: Si se puede factorizar entonces hay un factor de grado $1$ Lo llamamos $z-u(x,y)$ y $u(x,y)$ divide el término constante de $p(z)$ que es $x^3+y^3$ . Este último es puede ser factorizado a $(x+y)(x^2-xy+y^2)$ Comprobamos cada uno de los posibles valores $(x+y), -(x+y), (x^2-xy+y^2), -(x^2-xy+y^2)$ para $u(x,y)$ y encontrar que sólo $p(-x-y)=0$ . Así que $z-(-x-y)$ es un factor.


Nota:

Se puede utilizar Método de Kronecker

  • para reducir la factorización de un polinomio de $\mathbb{Q}[x,y,z]$ a la factorización de polinomios en $\mathbb{Q}[x,y]$ ,
  • para reducir la factorización del polinomio de $\mathbb{Q}[x,y]$ a la factorización de polinomios en $\mathbb{Q}[x,]$
  • para reducir la factorización del polinomio de $\mathbb{Q}[x,]$ a la factorización de números en $\mathbb{Z}$

Esta factorización es posible en un número finito de pasos, pero el número de pasos puede llegar a ser demasiado elevado a efectos prácticos.


Un dominio integral es un anillo conmutativo con $1$ donde se cumple lo siguiente: $$a \ne 0 \land b \ne 0 \implies ab \ne 0$$ Para los polinomios $f$ , $g$ , $h$ $\in I[z]$ esto garantiza: $$f=g \cdot h \implies \text{degree}(f)=\text{degree}(g) + \text{degree}(h) \tag{1}$$ Compara esto con $\mathbb{Z}_4$ que no es un dominio integral y $(2z^2+1)^2 \equiv 1$ y así $(2z^n+1) \mid 1$ . Así que el polinomio $1$ de grado $0$ tiene infinitos divisores. Si $I$ es un dominio integral $(1)$ garantiza que $z^3+az^2+bz+c \in I[z]$ tiene un factor lineal y por lo tanto cero en $I$ si no es irreductible.

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