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¿Hay estructuras exóticas simpléctica en $ S^2 $?

Además de la estructura simpléctica de obvoius en $ S^2$ dado por el elemento de área en el % de inclusión estándar $ S^2 \to \Bbb R^3$, ¿hay cualquier otros 2-formas cerradas en $ S^2$ que producen estructuras simpléctica nonisomorphic $ S^2$? En caso afirmativo, ¿existe una clasificación completa de las clases isomorphy de simpléctica %#% de #%?

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Lennart Regebro Puntos 136

Tenga en cuenta que para un cierre superficie orientable $\Sigma$, una estructura simpléctica es sólo una opción de área de forma $\omega$ (desde cualquier $2$-forma en $\Sigma$ se cierra automáticamente) y un symplectomorphism $(\Sigma, \omega) \longrightarrow (\Sigma', \omega')$ es sólo un área de preservación de la diffeomorphism (con respecto a la zona de los formularios de $\omega$$\omega'$).

En este caso, de Rham del teorema implica que para que dos simpléctica estructuras de $(\Sigma, \omega)$ $(\Sigma, \omega')$ $\Sigma$ a ser symplectomorphic (es decir, uno es el retroceso de la otra por un área de preservación de la diffeomorphism), es necesario que el $[\omega] = [\omega'] \in H^2(\Sigma; \Bbb R)$. Por el contrario, se puede aplicar el teorema de Moser1 el cual establece que una forma de volumen está totalmente determinado hasta el volumen de la preservación de diffeomorphism por su volumen total. Esto implica que la variación de un volumen en un circuito cerrado en el colector dentro de su cohomology de clase no cambia su clase de equivalencia bajo volumen-la preservación de diffeomorphism, ya que por Stokes teorema de $$\int_M \omega + d\eta = \int_M \omega$$ lo que implica $\omega = f^\ast(\omega + d\eta)$ para un volumen de preservación de la diffeomorphism $f$ por Moser del teorema.

Así, a partir de lo anterior, podemos concluir lo siguiente.

Para un sistema cerrado, superficie orientable $\Sigma$ y cada número real $a \in \Bbb R \setminus \{0\}$, no existe una única forma simpléctica $\omega_a$ $\Sigma$ correspondiente a $a \in \Bbb R \setminus \{0\}$ bajo el isomorfismo $H^2(\Sigma; \Bbb R) \cong \Bbb R$.

Esto significa que no hay exóticos simpléctica estructuras en cualquier cerrada orientable superficie; hasta symplectomorphism son todos los múltiplos escalares de, por ejemplo, el área de la forma de la superficie total $1$.

Observación. Tenga en cuenta que este resultado es válido para todas cerrado, orientable superficies, puede fallar en dimensiones superiores desde simpléctica formas no son equivalentes a los del volumen. Por ejemplo, McDuff ha construido un $6$-colector de dos simpléctica formas $\omega$$\omega'$$T^2 \times S^2 \times S^2$$[\omega] = [\omega']$, pero $\omega$ $\omega'$ no symplectomorphic (a pesar de que son la deformación equivalente).


  1. Moser, Jürgen. En los elementos de volumen en un colector. Trans. Amer. De matemáticas. Soc. 120 (1965), 286-294.

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