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¿Cómo demostrar que de "cada cardenal infinito satisface $a^2=a$" podemos probar que $b+c=bc$ para cualquier % de dos cardenales infinitos $b,c$?

Demostrar eso si $a^2=a$ para cada % de Cardenal infinito $a$y $b + c = bc$ para cualquier dos cardenales infinitos $b,c$.

Traté de $b+c=(b+c)^2=b^2+2bc+c^2=b+2bc+c$, pero entonces estoy atrapado ahí.

12voto

Lorin Hochstein Puntos 11816

Si usted puede comparar $b$$c$, entonces supongamos, sin pérdida de generalidad que $b\leq c$. Entonces $$bc \leq cc = c \leq b+c \leq c+c = 2c \leq bc.$$

La última desigualdad porque estamos asumiendo $b$ $c$ son tanto infinito, por lo $2\leq b$; la igualdad de $cc=c$ por supuesto.

Agregó${}^{\mathbf{2}}$. De $a^2=a$ para todos infinito cardenales, uno puede deducir que el Axioma de Elección (esto es un teorema de Tarski), que a su vez es equivalente al hecho de que podemos comparar a$b$$c$.

Si usted no quiere ir a través de la AC con el fin de asumir la comparabilidad de $b$$c$, entonces habría tenido algún problema con el problema, aunque Apostolos la respuesta junto con su $b+c = b+bc+c\geq bc$ hace ate junto con pulcritud.

Añadido. En ZF, el Axioma de Elección es equivalente a la afirmación de que dados cualesquiera dos conjuntos de $A$$B$, $A$ inyecta en $B$ o $B$ inyecta en $A$ (es decir, las cardinalidades de $A$ $B$ son comparables). Si podemos o no podemos asumir que dos cardenales son comparables puede depender de lo que significa "el cardenal".

Por "el cardenal", entendí un número cardinal, lo que significa un ordinal que no es bijectable con cualquier estrictamente menor ordinal, donde los números ordinales son ordenados por $\in$ (esta es la definición en Jech de la Teoría de conjuntos, en virtud de Alephs, página 24: "Un ordinal $\alpha$ es llamado un número cardinal si $|\alpha|\neq|\beta|$ todos los $\beta\lt\alpha$." La definición que precede a la discusión del Axioma de Elección, que comienza en la página 38). El orden entre los cardenales es inducida por el orden de los números ordinales. Si eso es lo que queremos decir por "el cardenal", entonces cualquiera de los dos cardenales son ciertamente similares (incluso en ZF sin AC), así que vamos a tener $b\leq c$ o $c\leq b$, y no hay pérdida de generalidad en suponer que la primera. Pero como Asaf señala, cuando se trata de los números cardinales en este sentido, tanto en $a^2=a$ $b+c=bc=\max\{b,c\}$ son teoremas de ZF.

9voto

Jonathan Puntos 3229

Arturo y guillermo respuestas asumir que $b$ $c$ son comparables, pero que no es necesario.

Primero voy a demostrar que si $b>1$ $c>1$ tenemos $b+c\leq bc$. Esta es una manera bastante fácil, si usted utiliza las definiciones de las operaciones. Tomar dos conjuntos disjuntos $B$ $C$ tal que $|B|=b$, $|C|=c$; vamos $b_1,b_2\in B$ ($b_1\neq b_2$) y $c_1,c_2\in C$ ($c_1\neq c_2$). Definir una función $F:B\cup C\to B\times C$ como sigue:

$$F(p) = \begin{cases} (p,c_1), &p\in B\\ (b_1,p), &p\in C\setminus\{c_1\}\\ (b_2,c_2), &p=c_1\end{casos}$$

Es fácil comprobar que esta $F$ es una inyección: Tomar cualquiera de los dos elementos de la $p,q\in B\cup C$ tal que $p\neq q$. Si uno de ellos es $c_1$ observar que no hay ningún otro elemento que se envía a un par que no contengan $b_1$ o $c_1$, por lo que sus imágenes son diferentes. Si $p,q\in B$ trivialmente $F(p)\neq F(q)$, (y lo mismo en los dos elementos de la $C$). Si usted tiene $p\in B$$q\in C\setminus\{c_1\}$,$F(p)=(p,c_1)\neq(b_1,q)=F(q)$.

Ahora, que han mostrado en su pregunta que $b+c=b+c+2bc\geq bc$. Así que tenemos que $b+c\leq bc$$bc\leq b+c$. El Cantor-Bernstein Teorema nos da ese $b+c=bc$.

5voto

David HAust Puntos 2696

De hecho $\rm\:\ b+c\: =\: b\:c\: =\: max\:\{b,c\}\ $ desde $\rm \ b\le c\ \ \Rightarrow\ \ c \ \le\ b+c\ \le\ 2\:c\ \le\ b\:c\ \le\ c\:c\: =\: c$

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