Intuición geométrica de las derivadas direccionales

Question

Lo que pretendo en este post es ver si la intuición que he construido es correcta, y, si no lo es, me gustaría que alguien compartiera su propia intuición sobre por qué las derivadas direccionales están relacionadas con el vector gradiente.

Mi intuición:

La definición formal de una derivada direccional es: $$ \frac{\partial f}{\partial \vec{v}} =\nabla f(a,b) \cdot \vec{v} $$ donde $\vec{v}$ es el vector que indica la dirección en la que debemos calcular las tasas de cambio.

Por la definición de las derivadas parciales, cuando calculamos $\frac{\partial f}{\partial x}$ Estamos arreglando un avión en $y$ dirección, y sólo analizando lo que un pequeño cambio en $x$ afecta a nuestra producción. Lo mismo ocurre en $\frac{\partial f}{\partial y}$ fijamos un plano en $x$ dirección, y analizar lo que un pequeño cambio en $y$ afecta a nuestra producción.

Ahora, cuando calculamos una derivada direccional de $\vec{v}$ Lo que estamos haciendo (en mi cabeza) es arreglar un avión, $\beta$ que tiene $\vec{v}$ como uno de sus vectores direccionales y se cruza con la superficie. Como en la imagen de abajo:

Porque $\beta$ tiene $\vec{v}$ como uno de sus vectores direccionales, lo que estamos haciendo esencialmente es comprobar lo que un pequeño cambio en la dirección de $\vec{v}$ causas a nuestra salida (superficie). Pero ya sabemos lo que un pequeño cambio en $x$ causas y lo que un pequeño cambio en $y$ causas, respectivamente, $\frac{\partial f}{\partial x}$ y $\frac{\partial f}{\partial y}$ ...

Asumiendo que todo lo que he dicho es correcto, podemos descomponer $\vec{v}$ en alguna combinación lineal del vector base de nuestro espacio, en este caso, la base estándar: $$ \vec{v} = \left[\begin{matrix} a\\ b\\ c\\ \end{matrix}\right] = a \cdot \left[\begin{matrix} 1\\ 0\\ 0\\ \end{matrix}\right] + b \cdot \left[\begin{matrix} 0\\ 1\\ 0\\ \end{matrix}\right] + c \cdot \left[\begin{matrix} 0\\ 0\\ 1\\ \end{matrix}\right] $$ Ignorando el tercer vector $\left[\begin{matrix} 0\\ 0\\ 1\\ \end{matrix}\right]$ porque se trata de nuestra salida, podemos ver $\left[\begin{matrix} 1\\ 0\\ 0\\ \end{matrix}\right]$ y $\left[\begin{matrix} 0\\ 1\\ 0\\ \end{matrix}\right]$ como algún cambio en $x$ y $y$ dirección, que se calculan por sus derivadas parciales, y estamos buscando en lo que un pequeño cambio en $\vec{v}$ dirección causa a nuestra salida, por lo tanto:

$$ \frac{\partial f}{\partial \vec{v}} = a \cdot \frac{\partial f}{\partial x} + b \cdot \frac{\partial f}{\partial y}\\ \frac{\partial f}{\partial \vec{v}} = \nabla f(a,b) \cdot \vec{v} $$

¿Estoy en lo cierto?

Answer 1

Retrocedamos un poco. Como señala Hans Ludmark en su comentario anterior, el básico definición de la derivada direccional en la dirección especificada por el vector unitario $\mathbf u=(u_1,u_2)$ en un punto $P=(a,b)$ es a través de un límite similar al del cálculo elemental: $${\partial f\over\partial\mathbf u}(a,b)=\lim_{h\to0}{f(a+hu_1,b+hu_2)-f(a,b)\over h}.$$ Como has observado, esto equivale a tomar un corte vertical a través de la superficie y luego calcular la derivada ordinaria de ese corte, como se ilustra a continuación.

Esta derivada es, por supuesto, la pendiente de la recta tangente (azul) al corte en ese punto. Obsérvese que esta línea es también la intersección de la tangente avión en ese punto (azul grisáceo) con el plano de corte (violeta), por lo que podemos interpretar la derivada direccional como la inclinación del plano tangente en una dirección determinada. Al girar el plano de corte alrededor de $P$ La pendiente de esta línea cambia, alcanzando un máximo cuando los dos planos son perpendiculares, como veremos a continuación. (También puedes ver que esto es así visualizando el corte de un cilindro paralelo al $z$ -eje por un plano e imaginando lo que ocurre con el punto alto al desplazar ese plano).

Digamos que el plano tangente viene dado por la ecuación $\lambda x+\mu y-z=d$ con normalidad $\mathbf n_t=(\lambda,\mu,-1)$ . Una normal al plano de corte es $\mathbf n_c=(-u_2,u_1,0)$ , que es sólo $\mathbf u$ girado noventa grados. En $\mathbb R^3$ podemos encontrar la dirección de la línea de intersección mediante un producto cruzado: $$\mathbf n_t\times\mathbf n_c=(u_1,u_2,\lambda u_1+\mu u_2)$$ y la pendiente de esta línea es entonces $${\lambda u_1+\mu u_2\over\sqrt{u_1^2+u_2^2}}=\lambda u_1+\mu u_2=(\lambda,\mu)\cdot\mathbf u=\|(\lambda,\mu)\|\cos\phi,$$ donde $\phi$ es el ángulo entre la proyección de $\mathbf n_t$ en el $x$ - $y$ avión y $\mathbf u$ . Por lo tanto, la pendiente es máxima cuando $\phi=0$ es decir, cuando $\mathbf u$ y la proyección de $\mathbf n_t$ apuntan en la misma dirección, pero esto ocurre cuando los dos planos son perpendiculares. El valor máximo de esta pendiente es $\|(\lambda,\mu)\|$ .

Aquí es donde el gradiente de $f$ entra. Si escribimos la ecuación de la superficie como $F(x,y,z)=f(x,y)-z=0$ entonces $\nabla F=(f_x,f_y,-1)$ es normal a la superficie, por lo que una ecuación del plano tangente en $(a,b,f(a,b))$ es $$xf_x(a,b)+yf_y(a,b)-z=af_x(a,b)+bf_y(a,b)-f(a,b).$$ Esto es exactamente en la forma analizada anteriormente, con $\lambda=f_x(a,b)$ y $\mu=f_y(a,b)$ Así que $${\partial f\over\partial\mathbf u}(a,b)=\nabla f(a,b)\cdot\mathbf u$$ con la tasa máxima de cambio dada por $\|\nabla f(a,b)\|$ .

Esto parece una terrible coincidencia, pero no lo es. Volviendo a la ecuación del avión $\lambda x+\mu y-z=d$ arriba, los coeficientes $\lambda$ y $\mu$ son, respectivamente, el " $x$ -slope" y " $y$ -pendiente", es decir, las pendientes de las intersecciones con planos paralelos a la $x$ - y $y$ -ejes. Estas pendientes se codifican en la normal $(\lambda,\mu,-1)$ . Para el plano tangente, estas pendientes son las derivadas direccionales en las direcciones de los ejes de coordenadas, también conocidas como las derivadas parciales de $f$ .