11 votos

La evaluación de tetration a las alturas infinitas (por ejemplo, $2^{2^{2^{2^{.^{.^.}}}}}$)

El Problema

¿Cómo se puede evaluar (es decir, obtener un valor de) Tetration (es decir, afirmar la exponenciación) a las alturas infinitas?

Por ejemplo, ¿cuál sería el valor de esta expresión?

$$ 2^{2^{2^{2^{2^{.^{.^.}}}}}} $$

Mi (patético) los Intentos de

He intentado equiparar a $x$ y sustituyendo en la RHS, pero no hubo suerte:

$$ x = 2^{2^{2^{2^{2^{.^{.^.}}}}}} $$ $$ x = 2^x $$ $$ x = \log_{2}{x} $$

Lo que creo que tenemos que hacer es tener la RHS como un polinomio con una variable y la CARTA de una constante por lo que podemos resolver por $x$.

Traté de dibujo de la ecuación en Wolfram Alpha , pero las líneas en el gráfico no se toca, así que no hubo suerte.

Novato matemático aquí. Gracias.

Editar

Lo siento, soy un dolt :(

Me di cuenta de que era un divergentes de la serie. Lo que me confunde es mi matemáticas señor me dijo que se podía hacer. Lo que en realidad quería decir era que se podría decir como esta:

$$ \frac{\log{x}}{x} = \log{2} $$

pero de alguna manera supone que habría una respuesta numérica.

Alternativa De Preguntas

@Clayton respuesta sugiere una pregunta similar que fue una serie convergente. Mientras eso no era lo que mi señor significaba, en la práctica podría haber sido:

$$ \sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{.^{.^.}}}} $$

Nadie me puede pensar sería:

$$ \sqrt{2*\sqrt{2*\sqrt{2*\sqrt{2*\sqrt{...}}}}} $$

De todos modos, la pregunta interesante este ha resultado ser...

10voto

Olivia Puntos 9

Sugerencia: Ecuaciones $y=x$ $y=2^x$ no se cruzan, significa que ya no hay solución para $x\in\mathbb R$.

4voto

Jorrit Reedijk Puntos 129

Aquí están los primeros 20 soluciones (por $\log(z)+k \dot (2\cdot \pi\cdot i)$ tal que $2^z=z$ o $z\cdot \log(2) = \log(z) + k\cdot(2 \pi i)$ : $$ \pequeño \begin{array} {r|l} k & z : 2^z=z\\ \hline 0 & 0.824678546142+1.56743212385*I \\ 1 & 3.51523672192+10.8800532084*I \\ 2 & 4.36143141283+20.0871628060*I \\ 3 & 4.88885664543+29.2211855083*I \\ 4 & 5.27384865880+38.3277872288*I \\ 5 & 5.57736047492+47.4208762811*I \\ 6 & 5.82797084936+56.5062285608*I \\ 7 & 6.04142622483+65.5867042057*I \\ 8 & 6.22733941446+74.6638922661*I \\ 9 & 6.39201436790+83.7387507973*I \\ 10 & 6.53981045480+92.8118939379*I \\ 11 & 6.67386852707+101.883734634*I \\ 12 & 6.79652672953+110.954561406*I \\ 13 & 6.90957275012+120.024582285*I \\ 14 & 7.01440413644+129.093951274*I \\ 15 & 7.11213417750+138.162784952*I \\ 16 & 7.20366413122+147.231173287*I \\ 17 & 7.28973387243+156.299186877*I \\ 18 & 7.37095826487+165.366881942*I \\ 19 & 7.44785382986+174.434303834*I \end{array} $$

(El uso de Pari/GP , más de 100 dígitos de precisión)

l2=log(2)
pi2i = 2*Pi*I 
{list=matrix(20,2);
for(k=0,20-1,              \\ k contains branchno for logarithm
   x0=1+I;
   for(j=1,20,              \\ Newton-iteration
        x1=x0-(l2*x0-(log(x0)+k*pi2i))/(l2-(1/x0));
        if(abs(x1-x0)<1e-100,break(),x0=x1); );
   list[1+k,]=[k,x0];
 );}
 printp(list)

3voto

Shabaz Puntos 403

Cualquier finito altura de la torre puede (en teoría) ser evaluado. Se equiparan a algún número natural. Si la torre es sólo moderadamente alto, va a ser un número enorme.Wolfram Alpha muestra que una torre de sólo cinco capas altas ha $19729$ dígitos. Si la altura de la torre es infinito, el valor diverge (rápidamente) a infinito y el valor no puede ser evaluado.

Su truco de equiparar a $x$ y la sustitución de encontrar el límite , si es que existe. En este caso, no.

2voto

medicine28 Puntos 16

Tal vez su 'matemáticas sir' en la escuela destinado a contar $$\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{.^{.^.}}}}$$can be evaluated. In fact, it can be evaluated in the following sense; for $x>0$, $$x^{x^{x^{.^{.^.}}}}=2\Longrightarrow x^2=2\Longrightarrow x=\sqrt{2}.$$ Hence, $$\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{.^{.^.}}}}=2.$$

1voto

Mark McClure Puntos 14421

En la equidad, WolframAlpha da la respuesta cuando usted escribe "x=2^x". Aquí está la salida que yo veo:

enter image description here

Ahora, la "Solución" podría parecer un poco extraño, pero, si he de llegar a la "forma Aproximada" veo que es aproximadamente el $0.824679+1.56743 i$ - un número complejo.

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X