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¿Cómo se puede calcular este límite $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin (\sin x)}}{x}$?

¿Cómo se puede calcular este límite $$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin (\sin x)}}{x}?$$ sin derivados por favor. Gracias.

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McKenzieG1 Puntos 5294

Escribir el límite como $$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(\sin x)}{\sin x} \cdot \frac{\sin x}{x}.$$ Es bien conocido que $$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1,$$ y desde $\sin x \to 0$$x \to 0$, obtenemos que también $$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(\sin x)}{\sin x} = 1.$$ Por lo tanto, el límite es de $1 \cdot 1 = 1$.

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Anthony Shaw Puntos 858

Aquí hay una página con una prueba geométrica que $$ \lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{\tan(x)}{x}=1 $$ Puede omitir los Corolarios.

A continuación, puede utilizar el hecho de que $\lim_{x\to 0}\sin(x)=0$ y el hecho mencionado por J. J. y Zarrax que $$ \lim_{x\to 0}\frac{\sin(\sin(x))}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{\sin(\sin(x))}{\sin(x)}\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x}=1 $$

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noah Puntos 61

Edit: La solución a continuación no debe no sigue las directrices de la OPs que los derivados de no ser utilizado. Sin embargo, lo voy a dejar ya que es correcto y muestra cómo la regla de L'Hôpital hace que el problema sea mucho más fácil. Si crees que esta respuesta debe ser eliminada, por favor hágamelo saber por qué y voy a tener en cuenta.

Desde este límite es de $\frac{0}{0}$ forma, podemos aplicar la regla de L'Hôpital, que los rendimientos de $$\lim_{x\to 0} \frac{\sin (\sin x)}{x} = \lim_{x\to 0} \frac{\frac{d}{dx}\sin (\sin x)}{\frac{d}{dx}x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos(\sin x) \cos x}{1} = 1.$$

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