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¿Conservación de la energía o no? En un proceso en el que interviene un condensador

En mi libro de texto, hay la siguiente tarea (es mi traducción y puede que no sea 100% clara o precisa, así que siéntase libre de pedir aclaraciones adicionales)

Un condensador plano, cargado $Q$ con placas conductoras de igual superficie $S$ , altura $h$ y la distancia entre ellos $d$ se colocó en posición vertical, es decir, de forma que los bordes inferiores de los campos conductores toquen un fluido dieléctrico (es decir, agua, de densidad $\rho$ y la permitividad relativa $\varepsilon_r$ ). Cerca de los bordes del condensador, hay un campo eléctrico no homogéneo que hace que el fluido se polarice (es decir, las partículas del fluido se convierten en dipolos eléctricos inducidos). Uno de los polos de cada dipolo estará entonces en un campo eléctrico más fuerte, lo que hace que el fluido sea ''aspirado'' hacia el interior del condensador (es decir, entre las placas).
¿Cuál es el cargo? $Q$ ¿con qué debe cargarse el condensador, para que el líquido llene todo el espacio entre las placas?

Luego, en mi libro de texto, se presenta la solución. Esta solución consiste en la aplicación de la ley de conservación de la energía:

$$ \frac{Q^2}{2C}=\frac{Q^2}{2\varepsilon_rC}+Sd\rho g\frac{h}{2}$$

y me parece que esta solución es absolutamente errónea. ¿Por qué? Considere el proceso de "succión" del agua en el condensador. Entonces hay - dentro del condensador - un campo eléctrico cambiante, que debería inducir un campo magnético cambiante y así sucesivamente. Por lo tanto, creo que la solución en mi libro de texto no considera la pérdida de energía debido a las ondas electromagnéticas emitidas. La respuesta - según mi libro de texto - es $$Q=S\sqrt{\frac{\varepsilon_r\varepsilon_0\rho gh}{\varepsilon_r-1}}$$

Personalmente, he encontrado otra solución. Si calculamos la energía total del sistema condensador+agua, y luego ponemos $\frac{dE}{dy}=0$ , entonces obtenemos $$Q=S\varepsilon_r\sqrt{\frac{2\varepsilon_0\rho gh}{\varepsilon_r-1}}$$ que difiere significativamente de la solución presentada en mi libro de texto.

¿Cuál es la solución correcta entonces? Y, si la solución presentada en mi libro de texto no exhibe la ley de conservación de la energía correctamente, entonces ¿qué cambios hay que hacer, para considerar la pérdida de energía debido a la emisión de ondas electromagnéticas?

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Ronald Puntos 33

Dejando de lado por un momento su punto sobre las pérdidas por radiación electromagnética, confío en que esté de acuerdo en que la lógica del libro era, por lo demás, sólida para llegar a $$ \frac{Q^2}{2C}=\frac{Q^2}{2\varepsilon_rC}+Sd\rho g\frac{h}{2}$$ Algebraicamente, esto da, en efecto,

$$Q=S\sqrt{\frac{\varepsilon_r\varepsilon_0\rho gh}{\varepsilon_r-1}}$$ Así que la respuesta del libro es correcta si el sistema no pierde energía.

Asumiendo que por $\frac{dE}{dy}=0$ ¿Quieres decir que $\frac{dE}{dh}=0$ En cuanto a la energía, me gustaría señalar que el cambio de energía con respecto a la altura no es cero. Hay más energía entre las placas cuanto más alto se sube. Así que tus esfuerzos, por lo demás inventivos y respetables, te llevaron a un error. Es $\frac{dE}{dt}$ que sería igual a cero cuando el agua sube entre las placas y la energía se transfiere del campo eléctrico al campo gravitatorio.

Por último, si consideras las pérdidas electromagnéticas, creo que tienes razón en que la pérdida es una cantidad finita y no nula. El campo eléctrico está cambiando, y la propia tasa de cambio cambia. Sin embargo, la pérdida sería extremadamente pequeña. El campo eléctrico está cambiando muy lentamente, y si oscilara continuamente a ese ritmo (que no lo hace), la onda sería de muy baja frecuencia. Las ondas de baja frecuencia, por supuesto, son ondas de baja energía. Además, la duración total de la radiación es bastante corta. Sería más correcto decir que se genera un pulso electromagnético que decir que se genera una onda electromagnética. Creo que los autores hicieron bien en omitirlo, pero quizás deberían haberlo dicho, como hacen algunos autores en situaciones similares, porque algunos lectores son muy despiertos y quieren que todo se integre con lo que ya entienden.

Para responder a tu última pregunta, habría que añadir a la ecuación un término dependiente del tiempo. Francamente, no sé cuál sería ese término sin investigarlo.

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scrondo Puntos 151

La respuesta correcta es la del libro. Este nivel de descripción es electrostático, no más allá de eso.

Puedes ver en las leyes de Maxwell, que las contribuciones del campo magnético entran cuando el campo eléctrico no es conservativo (-> no irrotacional). Este no es el caso, ni siquiera podrías considerar el potencial V de otra manera. De hecho, un campo vectorial conservativo es el gradiente de una función escalar y un campo vectorial conservativo es siempre irrotacional.

Tal vez esté confundiendo un campo eléctrico espacialmente inhomogéneo con un campo eléctrico cambiante en el tiempo.

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Crimson Puntos 189

Al principio pensé que tu pregunta era completamente falsa, pero después de pensarlo estoy empezando a pensar que tanto el libro como tú tenéis razón. Sin embargo, el libro probablemente no pretendía hacerlo tan complicado, así que en realidad es un error del libro.

Vamos a la física. La energía total $E_{tot}$ es la suma de la energía eléctrica en el condensador $E_C$ y la energía gravitacional del fluido $E_g$ . Ambas energías dependen del nivel del fluido $y$ . El nivel del fluido se verá forzado a subir siempre que la reducción de la energía eléctrica compense el aumento de la energía gravitatoria. El nivel del fluido tiene un punto estable cuando $\frac{dE_C}{dy}=-\frac{dE_g}{dy}$ En otras palabras, cuando $\frac{dE_{tot}}{dy}=0$ .

De la pregunta no queda del todo claro si el condensador se carga primero y luego se pone en contacto con el fluido o se carga lentamente, mientras está en contacto con el fluido. Consideraré ambos casos.

Para el caso de carga lenta, el sistema está constantemente en equilibrio en el nivel de fluido dado por $\frac{dE_{tot}}{dy}=0$ . Con la carga que has calculado, el fluido llegará a la parte superior del condensador.

Entonces, el caso de cargar primero y luego contactar con el fluido. En este caso, el sistema comienza fuera del equilibrio. Si suponemos que no hay pérdidas de energía, el fluido se acelerará hacia el nivel de equilibrio. Sin embargo, debido a la energía cinética del fluido, éste pasará este nivel de equilibrio y subirá aún más. A continuación, el nivel del fluido volverá a descender y oscilará en torno al nivel de equilibrio. La respuesta del libro da la carga para la que el nivel más alto en la oscilación alcanza justo la parte superior del condensador (cuando la energía cinética es cero).

En la práctica, las oscilaciones se amortiguarán y el sistema se estabilizará en el nivel de euilibrio. La causa principal de la amortiguación será la viscosidad y la fricción del fluido. En teoría, si no hubiera amortiguación mecánica, el sistema podría amortiguarse mediante la emisión de radiación EM de muy baja frecuencia. Sin embargo, en la práctica este efecto es completamente despreciable.

Para concluir, el libro está en su mayor parte equivocado, tú estabas en su mayor parte en lo cierto. Ten en cuenta que probablemente habrías tenido una respuesta más rápida si hubieras explicado adecuadamente lo que querías decir con dE/dy. Además, tus respuestas a la respuesta de D.Ennis son completamente inapropiadas y casi me hacen decidir no escribir esta respuesta. Sin embargo, el hecho sorprendente de que por una vez el libro esté realmente equivocado, me hizo escribirla de todos modos.

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