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¿Los conjuntos con medida de Lebesgue positiva tienen la misma cardinalidad que R?

He estado pensando en qué tipo de funciones salvajes no medibles puedes definir. Esto me llevó a la pregunta:

¿Es posible probar en ZFC, que si un conjunto de (Edit: measurabel) $A\subset \mathbb{R}$ tiene una medida de Lebesgue positiva, tiene la misma cardinalidad que $\mathbb{R}$? Es obvio si asumes CH, pero ¿puedes probarlo sin CH?

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Void Puntos 111

Un conjunto de medida positiva contiene un subconjunto cerrado de medida positiva. Se sabe que el subconjunto cerrado de reales puede tener cardinalidad, ya sea continuo o, a lo sumo, contable. (http://en.wikipedia.org/wiki/Perfect_set_property)

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