5 votos

Ingeniería Matemática: ¿Cómo se demuestra la regla de la potencia?

Consideremos la función de valor real $f(x)=x^r$ donde $r$ es un número real.

(1) ¿Para qué valores de $x$ y $r$ ¿es esta función diferenciable?

(2) ¿Cómo se demuestra la regla de la potencia, cuando $f(x)$ ¿es diferenciable?

Estaría bien que la prueba fuera accesible para un estudiante de 12º curso.

EDIT: Tal vez, no he sido muy claro en mi pregunta. No estoy satisfecho con las "pruebas de libro de texto" que he visto. Por favor, establezca la existencia (de la derivada) primero antes de probar la regla de la potencia. Es decir, por favor, considere primero la primera pregunta. Esta es la razón por la que llamo a la pregunta una pregunta de ingeniería matemática. (Si podemos bajar las matemáticas de alto nivel al nivel del grado 12, sin perder precisión, entonces lo llamo buena ingeniería matemática).

16voto

Lorin Hochstein Puntos 11816

Para un número entero positivo $r$ podemos definir $x\mapsto x^r$ para todos $r$ y la fórmula se deduce de la definición de derivada y del Teorema del Binomio: $$\begin{align*} \frac{d}{dx} x^r &= \lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^r - x^r}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{x^r + rx^{r-1}h + h^2(\text{some factors}) - x^r}{h}\\ &= \lim_{h\to 0}\frac{rx^{r-1}h + h^2(\text{some factors})}{h} = \lim_{h\to 0}\left(rx^{r-1} + h(\text{some factors})\right)\\ &= rx^{r-1} + 0 = rx^{r-1} \end{align*}$$ Es continuo para todos $x$ ya que es diferenciable para todo $x$ .

Para los enteros negativos $r= -n$ con $n$ un número entero positivo, continuidad en todo $x\neq 0$ sigue porque $x^n$ es continua en todo $x$ . En cuanto a la diferenciabilidad, sabemos que es diferenciable en todos los lugares donde está definida, porque es el cociente de dos funciones diferenciables (la función constante $1$ y la función $x\mapsto x^n$ que acabamos de demostrar que es diferenciable). Para encontrar la fórmula, utilizamos la regla del producto: $$\begin{align*} 0 &= \frac{d}{dx} 1 = \frac{d}{dx}x^{-n}x^n = (x^{-n})'x^n + (x^{-n})(x^n)'\\ &= (x^{-n})'x^n + x^{-n}(nx^{n-1}) = (x^{-n})' + nx^{-1}. \end{align*}$$ Resolver para $(x^{-n})'$ obtenemos $$\frac{d}{dx} x^{-n} = -\frac{nx^{-1}}{x^n} = -nx^{-n-1} = rx^{r-1},$$ cediendo la regla de la potencia. (También podríamos utilizar la regla del cociente para obtener la diferenciabilidad de $\frac{1}{x^n}$ ).

Para los racionales $r=\frac{p}{q}$ con $p$ y $q$ en términos reducidos, la definición es que $x^r = (x^p)^{1/q}$ . Para $q$ impar, esto se define para todos $x$ y es continua (es la composición de $x^p$ y la inversa de $x^q$ que es continua en todos los $x$ ), pero diferenciable sólo en $x\neq 0$ ; diferenciabilidad de $x\mapsto x^{1/q}$ se deduce por el Teorema de la Función Inversa, y la diferenciabilidad de $x^{p/q}$ ahora se deduce porque es una composición de funciones diferenciables, por lo que la prueba de la Regla de la Cadena muestra que es diferenciable; para $q$ incluso, esto se define para todos los $x\geq 0$ y es continua allí, pero sólo diferenciable en $x\gt 0$ (la tangente en $x=0$ es vertical). La diferenciabilidad en otro lugar se sigue por el Teorema de la Función Inversa y la Regla de la Cadena (que de hecho prueba que la composición es diferenciable).

Para $x^{1/q}$ con $q$ y enteros, utilizamos la regla de la cadena: $$1 = \frac{d}{dx}x = \frac{d}{dx}(x^{1/q})^q = q(x^{1/q})^{q-1}(x^{1/q})',$$ por lo que la resolución de $(x^{1/q})'$ obtenemos $$\frac{d}{dx}x^{1/q} = \frac{1}{q}x^{(1-q)/q} = \frac{1}{q}x^{(1/q) - 1}.$$

Entonces para $x^{p/q}$ tenemos, de nuevo por la regla de la cadena, $$\frac{d}{dx}x^{p/q} = \frac{d}{dx}(x^p)^{1/q} = \frac{1}{q}(x^p)^{(1/q)-1}(x^p)' = \frac{p}{q}(x^{p})^{(1/q)-1}x^{p-1} = \frac{p}{q}x^{(p/q)-p+p-1} = \frac{p}{q}x^{(p/q)-1}.$$

Para el exponente irracional $r$ sólo definimos $x^r$ para $x\gt 0$ y lo definimos como $x^r = \exp(r\ln x)$ . Para $x\gt 0$ la función $x\mapsto \ln x$ es diferenciable; por lo tanto $x\mapsto r\ln x$ es diferenciable. La exponencial es diferenciable en todas partes, por lo que la composición $x\mapsto \exp(r\ln x)$ es diferenciable en todos los lugares en los que está definida, de nuevo por la regla de la cadena. Para obtener la fórmula, podemos utilizar de nuevo la Regla de la Cadena: $$\frac{d}{dx} x^r = \frac{d}{dx}\exp(r\ln x) = \exp(r\ln x)(r(\ln x)') = \frac{r}{x}\exp(r\ln x) = \frac{r}{x}(x^r) = rx^{r-1}.$$

3voto

goingglacial Puntos 161

Probemos la regla de la potencia para un número real arbitrario. Así que $r$ puede ser un número entero, racional, irracional. Aprovechamos el hecho de que $e^{r\ln x}=x^r$ .
$$ \begin{align*} \frac{\text{d}}{\text{dx}} (x^r) & = \frac{\text{d}}{\text{dx}} \left(e^{r\ln x}\right)\\ &= e^{r\ln x} \frac{\text{d}}{\text{dx}}\left(r\ln x \right)\\ & = e^{r\ln} x \left(\frac{r}{x}\right)\\ & =rx^{r-1}. \end{align*} $$ donde hemos utilizado el hecho de que $\frac{d}{dx}\ln x =\frac{1}{x}$ . por supuesto esto funciona si $x>0$ .

1voto

Michael Hardy Puntos 128804

Que es cierto para valores enteros no negativos de $r$ puede demostrarse por cualquiera de varios métodos.

  • Uno de ellos utiliza la inducción matemática y la regla de la potencia: $$ \frac{d}{dx} x^{r+1} = \frac{d}{dx} (x^r\cdot x) = x\frac{d}{dx} x^r + x^r \frac{d}{dx} x = x(rx^{r-1}) + x^r\cdot 1 = (r+1)x^r. $$

  • Otro utiliza la definición de derivado directamente: $$ \frac{d}{dx} x^r = \lim_{w\to x} \frac{w^r-x^r}{w-x} = \lim_{w\to x}\frac{(w-x)(w^{r-1}+w^{r-2}x + w^{r-3}x^2 + \cdots + x^{r-1})}{w-x} $$ $$ = \lim_{w\to x} (w^{r-1}+w^{r-2}x + w^{r-3}x^2 + \cdots + x^{r-1}) $$ $$ = \underbrace{x^{r-1}+\cdots+x^{r-1}}_{r\text{ terms}}. $$

  • Otro utiliza el teorema del binomio y la definición de la derivada. Hay un poco de exageración en eso, ya que la expansión binomial le da todo $r+1$ coeficientes donde sólo se necesitan los dos primeros.

Para los positivos $x$ y real $r$ (no enteros y no necesariamente positivos), puedes utilizar la diferenciación logarítmica, siempre que conozcas la regla de la cadena y cómo diferenciar las funciones exponencial natural y logarítmica: $$ \frac{d}{dx} x^r = \frac{d}{dx} e^{r\log_e x} = e^{r\log_e x} \frac{r}{x} = x^r\cdot \frac{r}{x}. $$

Para los valores enteros negativos de $r$ se puede utilizar la regla de la reciprocidad: $$ \frac{d}{dx}x^r = \frac{d}{dx} \frac{1}{x^{-r}} = \frac{-\frac{d}{dx}x^{-r}}{x^{-2r}} = \frac{rx^{-r-1}}{x^{-2r}} = rx^{r-1}. $$

También es cierto para valores reales arbitrarios de $r$ incluso cuando $x$ no es positivo. Pensaré en la forma más rápida de demostrarlo. Excepto que no es cierto cuando $x=0$ y $r<0$ ya que eso implica dividir por $0$ .

0voto

TimDaMan Puntos 116

Editado para incluir los valores absolutos.

Escriba $y=x^r$ . Entonces $\log|y|=r\log|x|$ . Entonces la diferenciación implícita da $\displaystyle\frac{y'}{y}=r\frac{1}{x}$ o $\displaystyle y'=r\frac{y}{x} = r\frac{x^r}{x} = rx^{r-1}$ . Esto funciona para todos los números reales $r$ y así $f(x)=x^r$ es diferenciable para todo $r$ y para todos $x$ para lo cual $x^r$ se define, a menos que $r-1<0$ en cuyo caso $f$ no es diferenciable en $0$ .

Por supuesto, esto supone que ya sabes que $\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \log(x) = \frac{1}{x}$ .

0voto

DDD4C4U Puntos 6

Demostrar la regla de la potencia a partir del primer principio mediante el teorema del binomio y tomando el término de orden principal, ahora para los exponentes negativos, podemos utilizar un truco. Consideremos:

$$ x^k \cdot x^{-k} = 1$$

La identidad anterior es válida para todos los $ x \in R -{0}$ diferenciarlo:

$$ kx^{k-1} x^{-k} + x^k \frac{d}{dx} x^{-k} =0$$

$$ \frac{d}{dx} x^{-k} = -\frac{k}{x^{k+1}}$$

Así que, sin ningún teorema del binomio generalizado, un estudiante que conozca el teorema del binomio + la regla del producto sería capaz de hacerlo :^)

Es definitivamente diferenciable para todos $r \in \mathbb{R}$ y todas las x en R excepto en el caso de que $r$ es negativo; entonces x no puede ser cero

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X