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La intersección de un número infinito de primer ideales en un anillo de enteros

Deje $\mathcal{O}$ ser el anillo de enteros de un campo de número, $\{\mathfrak{p}_i,\,i \in \mathbb{N}\}$ una secuencia de dos-por-dos pares distintos primer ideales. De lo anterior se sigue que el$$\bigcap_i \mathfrak{p}_i = \{0\}?$$

6voto

QuentinUK Puntos 116

Esto es cierto. Si $I$ denota su ideal, a continuación, $I \subseteq \mathfrak p_i$ por cada $i$. Supongamos que $I$ no es el cero ideal. Si $I= \mathfrak q_1 \dots \mathfrak q_j$ es la descomposición de la $I$ como un producto de primer ideales, a continuación, $ \mathfrak q_1 \dots \mathfrak q_j \subseteq \mathfrak p_i$ implica que el $\mathfrak q_{r_i} \subseteq \mathfrak p_i$ algunos $1 \leq r_i \leq j$, debido a $\mathfrak p_i$ es un alojamiento ideal. Desde $\mathcal O$ tiene dimensión $1$, en realidad tenemos $\mathfrak q_{r_i} = \mathfrak p_i$. Pero ya que hay infinidad de $i$'s y un número finito de posibles opciones para el $r_i$, hay dos distintos $i, i'$$r_i = r_i'$; pero, a continuación,$\mathfrak p_i = \mathfrak p_{i'}$, lo que contradice el supuesto de hecho en el $\mathfrak p$'s.

3voto

Leenie Puntos 11

Deje $A$ ser cualquier ideal en $\mathcal{O}$. Para $\alpha$ en $A$, $\alpha$ satisface una monic polinomio de menor grado, decir $\alpha^n+b_1\alpha^{n-1}+\cdots+b_n=0$$b_n\neq 0$. A continuación,$b_n=\alpha(-\alpha^{n-1}-b_1\alpha^{n-2}-\cdots-b_{n-1})$, lo que implica que el ideal que contiene a $\alpha$ contiene algunos no-cero racional entero $b_n$.

En particular, cada primer ideal $\mathfrak{p}_i$ contiene un primer entero en $\mathbb{Z}$.

Si $\cap_i\mathfrak{p}_i$ es distinto de cero ideal, entonces contendrá un entero$n$$\mathbb{Z}$, y, por tanto, $n$ será divisible por un número infinito de primer enteros (elegido de $\mathfrak{p}_i\cap\mathbb{Z}$), en $\mathbb{Z}$, una contradicción.


(Modificado de respuesta después de la observación de Jyrki.)

2voto

jammur Puntos 589

La intersección de los ideales es un ideal. Ya que el tuyo es divisible por un número infinito de números primos, debe ser que no tiene presentación como un producto de números primos. Pero en un dominio de Dedekind, cada no-cero ideal tiene una única expresión como el finito producto de primer ideales (para algunos el poder). Por lo tanto debe ser que su ideal es el único ideal no cubiertos por este teorema: el cero ideal.

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