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Resolver una ecuación de 4 º grado

Resolver la siguiente ecuación: $$x^2+\dfrac{81x^2}{(9+x)^2}=40.$ $

Por desgracia no tengo ninguna idea porque después ampliar obtener una ecuación de grado 4.

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pq. Puntos 440

$$x^2+\dfrac{81x^2}{(9+x)^2}=40$$. $$x^2-\frac{18x^2}{x+9}+\frac{81x^2}{(x+9)^2}+\frac{18x^2}{x+9}=40$$ $$\left( x-\frac{9x}{x+9}\right)^2+\frac{18x^2}{x+9}=40$$ $$\left( \frac{x^2}{x+9}\right)^2+\frac{18x^2}{x+9}=40$$ Let $$\frac{x^2}{x+9}=t$$ Then $t^2+18t-40=0$. $t=-20$ O $t=2$.

$\frac{x^2}{x+9}=-20$ or $\frac{x^2}{x+9}=2$

$x^2+20x+180=0$ or $x^2-2x-18=0$

$x=1\pm\sqrt{19}$

Además:

Resuelve la siguiente ecuación $A^2(x)+B^2(x)=c$, donde $A(x)-B(x)=A(x)B(x)$ entonces $$A^2(x)-2A(x)B(x)+B^2(x)+2A(x)B(x)=C$ $ $$(A(x)-B(x))^2+2A(x)B(x)=c$ $ entonces $A(x)-B(x)=A(x)B(x)=t$

Por ejemplo:enter image description here

2voto

Mayank Puntos 133

Aquí hay otra manera de resolverlo.

En plena expansión en el da: $$x^2(9+x)^2 + 81x^2 = 40(9+x)^2$$ $$(x^2-40)(9+x)^2 + 81x^2 = 0$$ $$(x^2-40)(81+18x+x^2)+81x^2 = 0$$ $$x^4+18x^3+122x^2-720x-3240=0$$

Paso importante: $$(x^2-2x-18)(x^2+20x+180)=0$$

El último paso es complicado, pero si se supone que una factorización de la forma existe: $$(ax^2 + bx + c)(dx^2 + ex + f) = 0$$

a continuación, el mapeo de la coeffeicients a los correspondientes a las potencias de x, se obtiene: $$ (ad)x^4 + (ae + db)x^3 + (af + dc + be)x^2 + (bf + ec)x + fc = 0$$

Se tienen las siguientes ecuaciones a resolver:

$$ (a*d) = 1 $$ a=d=1 (ó -1) por simplicidad

Así que tenemos 4 ecuaciones y 4 incógnitas $$ (e+b) = 18 $$ $$ (f + c + be) = 122 $$ $$ (b*f + e*c) = -720$$ $$ (f*c) = -3240 $$

Estos son duras y largas para resolver con la mano, pero finalmente se obtiene:

$$a = 1, b = -2, c = -18, d = 1, e = 20, f = 180$$

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