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La intuición detrás de Hilbert ' s Nullstellensatz

tal vez esa es una pregunta sin sentido, sin embargo estoy teniendo problemas en la "comprensión" (aceptar) la de Hilbert Nullstellensatz. Entiendo que la prueba, sin embargo, no puedo entender el concepto en una forma más constructiva. Creo que la fuente de mi duda está en el hecho de que el máximo de ideales en $k[x_1, x_2, ..., x_n]$ están siempre en la forma $\mathfrak{m} = (x_1 - a_1, x_2 - a_2, ..., x_n - a_n )$ y en el hecho de que $k[x_1, x_2, ..., x_n]/\mathfrak{m} \cong k$ si $k$ es algebraicamente cerrado. Sé que estos resultados se desprende directamente de la consecuencia: si $R$ es un finitely generadas $k$-álgebra ($k$ tal vez no es algebraicamente cerrado) y $R$ es un campo, entonces $R/k$ es una extensión algebraica (que creo que es anti-intuitiva, y todas las pruebas que he encontrado parece muy poco natural). Es allí cualquier constructivo prueba o algoritmo a estos hechos o algún ejemplo ilustrativo?

Gracias de antemano.

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Joseph Holsten Puntos4116

Puede ser que usted encontrará este método antinatural, pero ir a Las Pilas de Proyecto, vaya al capítulo "Ejercicios" (este es el capítulo $74$), y echa un vistazo en el ejercicio $10.1$. También puede buscar en el Espectro de un operador lineal sobre un espacio vectorial de contables dim en el que puedo hacer una pregunta relativa a la $10.1$. Tenga en cuenta que esto demuestra el Nullstellensatz sólo para $\mathbb{C}$, pero tiene la ventaja de utilizar el lenguaje de álgebra lineal que puede preferir más/ más intuitiva.

La otra opción sería la de convencer a ti mismo que Noether Normalización está diciendo algo geométricas (el Nullstellensatz es una sencilla consecuencia de Noether de Normalización), y para esto me puede recomendar Ravi Vakil "Fundamentos de la Geometría Algebraica" (se encuentra aquí) secciones $11.2.3$ $11.2.6$en el 23 de Marzo de versión de las notas, aunque esto puede ser una exageración.

Por supuesto, @mbrown del comentario de reformular el Nullstellensatz es quizás la mejor manera de pensar acerca de ello. Buena suerte!

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