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Dos integrales similares

Dejemos que $n$ sea un número entero positivo par dado. Tenemos la siguiente integral \begin{align} \int_0^{\infty}\cdots\int_0^{\infty}e^{-(x_1+\cdots+x_n+y_1+\cdots+y_n)}\prod\limits_{i=1}^n\prod\limits_{j=1}^n(x_i-y_j)dx_1\cdots dx_ndy_1\cdots dy_n&=\\ \int_0^{\infty}\cdots\int_0^{\infty}e^{-(y_1+\cdots+y_n)}\left(\int_0^{\infty}e^{-x}\prod\limits_{j=1}^n(x-y_j)dx\right)^ndy_1\cdots dy_n&>0. \end{align} Consideremos una integral similar: $$\int_0^{\infty}\cdots\int_0^{\infty}e^{-(x_1+\cdots+x_n+y_1+\cdots+y_n)}\prod\limits_{i=1}^n\prod\limits_{j=1}^n(x_i^{\frac{1}{2}}-iy_j^{\frac{1}{2}})^2dx_1\cdots dx_ndy_1\cdots dy_n.$$ Mi pregunta es si la parte real de la integral anterior es positiva o no.

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Brady Puntos 273

Si se considera el conjugado de $I:=\int_0^{\infty}\cdots\int_0^{\infty}e^{-(x_1+\cdots+x_n+y_1+\cdots+y_n)}\prod\limits_{k=1}^n\prod\limits_{j=1}^n(x_k^{\frac{1}{2}}-iy_j^{\frac{1}{2}})^2dx_1\cdots dx_ndy_1\cdots dy_n$ e intercambiando el orden de integración y el nombre de las variables, se obtiene $(-1)^{n^2}I$ lo que significa que $I$ es real o puramente imaginario según la paridad de $n$ .

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