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¿Prueba rápida del hecho de que el anillo de enteros de $\mathbb Q(\zeta_n)$ es $\mathbb Z[\zeta_n]$?

No puedo encontrar una buena referencia para la prueba de que el anillo de enteros en un campo ciclotómico $\mathbb{Q}(\zeta_n)$ es $\mathbb{Z}[\zeta_n]$. La prueba que suelo encontrar hace una inducción sobre el número de factores primos de $n$, junto con una prueba larga y algo computacional en el caso de que $n$ sea la potencia de un primo.

¿Conoces un enfoque más rápido y posiblemente más conceptual?

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aslum Puntos 141

No sé si esto es lo que estás buscando, pero me gusta la prueba en la Sección I.10 de Teoría Algebraica de Números de Neukirch. Conceptualmente la idea (para $n$ una potencia primo) es que si el discriminante es una potencia primo y hay un elemento $\lambda$ cuya norma es ese primo, entonces $\mathbf{Z}[\lambda]$ debería ser el anillo de enteros. Aquí, $\lambda = 1- \zeta$ así que $\mathbf{Z}[\lambda] = \mathbf{Z}[\zeta]$.

Luego, para el $n$ general, usa el hecho de que $\mathbf{Q}(\zetan)$ es el compositum de $\mathbf{Q}(\zeta{\ell^r})$, y $\zeta_{\ell^r}$ es un poder de $\zeta_n$.

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