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Distribución de valores propios límite de $(I-A)^T(I-A)$

Dejemos que $A\in\mathbb R^{n\times n}$ sea una matriz gaussiana aleatoria con entradas i.i.d de $\mathcal N (0, \frac{a}{\sqrt{n}})$ . Por Marchenko-Pastur conocemos la distribución límite del valor propio de $A^TA$ . Ahora quiero entender el comportamiento de los valores propios de $(I-A)^{T}(I-A)$ . Según algunas simulaciones, si $a$ es grande, entonces la distribución converge a la ley del cuarto de círculo (lo cual es intuitivo ya que el efecto de $I$ se encoge), y un pequeño $a$ conduce a un semicírculo deformado. ¿Existe una representación analítica de esta distribución? Gracias.

a=10

a=0.01

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Matthias Benkard Puntos 11264

Sé que la distribución de valores propios límite satisface un principio variacional (véase, por ejemplo, el trabajo conjunto con A. Kuijlaars Grandes desviaciones para una matriz Wishart no centrada ) a partir de la cual se puede derivar una ecuación algebraica de grado tres para la transformada de Sieltjes, y eventualmente recuperar una fórmula analítica para la densidad límite utilizando la fórmula de inversión de Cauchy-Plemelj.

De forma más general, la distribución límite puede expresarse como la convolución libre rectangular (introducida por Benaych-Georges en Matrices aleatorias rectangulares, convolución relacionada ) de la distribución de Marchenko-Pastur y una masa de Dirac; a continuación se puede recuperar esta ecuación algebraica utilizando la transformada R rectangular asociada.

Espero que esto te ayude y que puedas resolver los detalles por ti mismo. Por lo demás, yo partiría de la prueba original de Marchenko-Pastur y la adaptaría para calcular la asintótica de la transformada de Stieljes de tu modelo matricial, lo que eventualmente llevaría también, tras tediosos cálculos, a la misma ecuación algebraica de grado tres.

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