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Funciones y matrices asintóticamente multiplicativas

Hola,

Dejemos que $\mathbb{N}_{cop}^2$ denotan el conjunto de todos los pares de números naturales coprimos. Una función $f:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}$ se llama asintóticamente multiplicativa, si $\epsilon_{m,n}:=f(mn)-f(m)f(n)\longrightarrow 0$ uniformemente como $|(n,m)|\longrightarrow\infty$ en todo $\mathbb{N}_{cop}^2$ . Del mismo modo, se podría definir la multiplicidad asintótica condicionada. Además, uno puede querer escoger $f$ de algún espacio especial, por ejemplo $L^2$ o $C^{\infty}$ o incluso $\mathcal{M}$ .

Ahora, me he dado cuenta de que uno puede ser capaz de estudiar tales funciones observando matrices "bonitas". En particular, dejemos que $n$ sea algún número natural fijo y para una matriz $A=(a_{ij})\in M_n(\mathbb{C})$ dejar $\tilde{a_{ij}}$ denota el cofactor de $a_{ij}$ . ¿Es posible, en general, construir $\forall n\in\mathbb{N}$ una matriz $A\in\{M_n(\mathbb{C})}$ tal que $\forall 1\leq i\leq n, 1\leq j\leq n: a_{ij}\tilde{a_{ij}}=f(i)f(j)$ ( $f$ podría ser alguna función arbitraria, independiente del backgrounf que proporcioné anteriormente)?

Gracias de antemano,

efq

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Matt Miller Puntos 1829

No entiendo varios puntos de su pregunta. En primer lugar, su función $f$ sólo está definida en el conjunto de los números naturales, por lo que hablar de que pertenece a $L^2$ o $C^\infty$ o ${\mathcal M}$ parece engañoso.

Hay que tener en cuenta que cualquier función definida sobre los números naturales puede extenderse a una función suave definida sobre ${\mathbb C}$ .

En segundo lugar, no entiendo los cuantificadores de su segunda pregunta. ¿Estás especificando una función $f$ , un número $n$ y luego pedir un $n\times n$ matriz A que tenga las propiedades que usted requiere? ¿O estás preguntando qué matrices $A$ tienen la propiedad de que $a_{ij} \widetilde{a_{ij}}$ se factoriza como $f(i)f(j)$ para alguna función $f$ ? La matriz de identidad debería ser un ejemplo de ello, pero es de suponer que quieres otros.

¿Podría decir un poco más sobre por qué la segunda parte debe ser relevante a su noción de "asintóticamente multiplicativa"?

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