¿Por qué la matriz definida positiva tiene un valor propio estrictamente positivo?

Question

Decimos que$A$ es una matriz definida positiva si y solo si$x^T A x > 0$ para todos los vectores distintos de cero$x$. Entonces, ¿por qué toda matriz definida positiva tiene valores propios estrictamente positivos?

Answer 1

Supongamos que nuestra matriz$A$ tiene un valor propio$\lambda$.

Si$\lambda = 0$, entonces hay un vector propio$x$ de modo que$Ax = 0$. Pero entonces$x^T A x = 0$, por lo que$A$ no es positivo definido.

Si$\lambda < 0$, entonces hay un vector propio$x$ de modo que$Ax = \lambda x$. Pero luego$x^T A x = \lambda \lvert x \rvert^2$, que es negativo desde$\lvert x \rvert^2 > 0$ y$\lambda < 0$. Por tanto,$A$ no es positivo definido.

Entonces, si$A$ es positivo definido, solo tiene valores propios positivos.

Answer 2

Sugerencia: si$\lambda$ es un valor propio de$A$, deje que$x$ sea el vector propio asociado y considere$x'Ax$.