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¿Por qué esta distribución de las raíces del polinomio se asemejan a una colección de afín fractales IFS?

Considere la siguiente imagen espectacular, creado por Sam Derbyshire y se describe en Juan Báez en su artículo "La Belleza de las Raíces":

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En esta imagen se representan todas las raíces complejas de todos los polinomios de grado $\le 24$ con los coeficientes que se dibuja a partir del conjunto $\{-1, 1\}$. Hay algo sorprendente estructura de ahí, que muchos se pueden hacer preguntas! Las simetrías acerca de la $x$ejes, $y$el eje, y el círculo unitario se explica fácilmente, sin embargo: no es difícil mostrar que si a $z$ es una raíz de un polinomio con coeficientes en $\{-1,1\}$, entonces $\bar z$, $z$ y $z^{-1}$.

Por favor vea a Juan Báez del citado artículo para obtener más ampliada imágenes mostrando el hermoso detalle en esta distribución de las raíces. En particular, hacia el interior del círculo unitario, que la distribución no se caen bien, pero parece formar patrones fractales, tales como cerca de $z = 4/5$, cerca de $z = 4i/5$, y cerca de $z = e^{i/5}/2$. De hecho, estos patrones son muy reminiscencia de las imágenes producidas por los sistemas de función iterada de transformaciones afines. Con un poco de experimentación con David Eck del Caos Juego applet, he encontrado que para producir fractales similares a estos patrones, uno sólo tiene que usar dos afín mapas, ambos de los cuales son la composición de una escala por cerca de 70% y una rotación por $\arg z$, y difieren de una traducción. Para ilustrar:

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Estoy tentado a decir que la totalidad de la distribución se parece a un catálogo de tales afín IFSs, la forma en que el conjunto de Mandelbrot es como un catálogo de conjuntos de Julia.

Mi pregunta es simple: ¿por Qué es esto así? ¿Cuál es la razón por la que las raíces de $\{-1,1\}$ polinomios de la forma un fractal de la distribución, que se comporta localmente como un afín IFS?

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jhornnes Puntos 1211

Yo no puedo dar una respuesta completa, pero puedo hacer un par de observaciones en la dirección general de una respuesta. Tenga en cuenta que la mayor parte de esto se basa en la memoria de pasar varias horas mirando el comportamiento de estas parcelas y observar cómo se relacionan las raíces individuales polinomios. Todo esto es "empírica de las matemáticas" (suponiendo que eso es una cosa, je), pero los patrones son bastante claras y mientras yo la duda que tengo la base matemática para hacer más de lo riguroso creo que no sería demasiado difícil.

  • Esto no se limita a los coeficientes de $\{-1,1\}$; casi cualquier colección de polinomios con coeficientes elegido a partir de un conjunto muy limitado va a producir patrones similares.

  • El personaje de el patrón está directamente ligada a la ubicación en el plano complejo, específicamente el efecto de la multiplicación. Por lo que sospecho que se catálogos de la IFSs sólo en la medida en que el plano complejo los catálogos de (algunos) afín. Tenga en cuenta que el conjunto de Julia de la fórmula, en cambio, permite a la transformación variar durante la iteración con sólo una constante aditiva para alterar la forma, que es la razón por la que tiene el más elaborado comportamiento caótico vs IFS estructura como la de aquí.

  • Cada fragmento de un patrón aproximadamente se asemeja a un conjunto de Cantor, con fragmentos superpuestos fuertemente excepto en los bordes exteriores. Cada fragmento es trenzado de acuerdo a la naturaleza de los complejos de la multiplicación, y la combinación crea la similitud notado.

En estos dos últimos puntos son bastante intuitivo dada la naturaleza de los números complejos y sobre todo evidente a partir de la inspección de las parcelas, pero realmente no hacen mucho para explicar por qué, que me imagino que es por eso que Báez no comentar sobre ella.

También inexplicables son las carencias, tales como los que alrededor de las raíces de la unidad. No recuerdo exactamente las ubicaciones, pero recuerdo que también es obvio el por qué de la ubicación de las lagunas eran relevantes, pero no por ello raíz de la densidad cae tan bruscamente alrededor de ellos. Yo probablemente podría hacer algunas conjeturas, pero sólo con abundante handwaving involucrados.

En la otra mano, a excepción de las lagunas, creo que el grueso anillo alrededor del círculo unidad consiste simplemente en más variaciones en los mismos patrones, más densa y fuertemente superpuesta, hasta el detalle es que ya no está visible.


Con respecto a las variaciones en las parcelas como este, el mismo aproximado patrón aparece independientemente de polinomio de grado, y para cualquier conjunto de coeficientes de la forma $\{-N, -(N - 1) ... -1, 1 ... N - 1, N\}$. La densidad de raíces alrededor del círculo unidad, el protagonismo de las lagunas en torno a ciertos puntos, y el carácter de la franja en el interior de las lagunas, varían con el grado; esto es difícil de ver en Derbyshire trama en lugar de una que se limita a los polinomios de un solo grado.

La forma de la parcela en general los cambios si los coeficientes no son elegidos como los anteriormente mencionados, ya sea de diferentes magnitudes o de más de un conjunto. Nota las parcelas en esta página, especialmente aquellas que están cerca de la parte inferior. El color indica la sensibilidad de los puntos a los cambios en los coeficientes, lo que indica que parte de la trama puede distorsionar de forma asimétrica.

Mis observaciones, en general, fueron los siguientes:

Haciendo tanto en la moderación crea... extraño efectos:

distorted polynomial root plot

5voto

theog Puntos 585

Recientemente he notado que en algún momento desde que he publicado esta cuestión, el artículo de Juan Báez que la inspiración ha sido actualizado. Ahora se incluye una explicación del fenómeno en términos de composiciones de un parámetro de familias de funciones $f_+(x) = 1 + zx$ y $f_-(x) = 1 - zx$, lo que, evidentemente, son los dos afín mapas estaba especulando acerca de mi pregunta. La relación entre el conjunto de las raíces y las composiciones de $f_+$ y $f_-$ aparentemente es de hecho análoga a la de Mandelbrot-Julia correspondencia. No estoy totalmente de seguir el argumento en el artículo actualizado todavía, pero parece claro que la respuesta a mi pregunta está ahí, así que voy a postear un enlace como este wiki de la comunidad de respuesta.

(Ya que esta es la CW, si alguien quiere editar en un conciso reformulación de los vinculados argumento, vaya a la derecha por delante.)

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